Il est visible, cyprès ce qui précède, que l'on aura

toujours la valeur exacte de f[x + h) eu prenant pour dernier

HP terme le produit de par un certain facteur compris

entre P et Q, c'est-à-dire par une quantité comprise entre la

dp-, f[x\ plus grande et la plus petite des valeurs de la fonction *'x

qui ont lieu dans l'intervalle de x à x + *• Si cette fonction est continue, le facteur dont nous parlons sera évidemment une des valeurs qu'elle prend (Japs }'i#^rv^lte iA$^£ C'est ce qu'oui exprime en écrivant

fr est ici un nombre inconnu compris entre 0 et l'unité

Jusqu'ici nous avous supposé h positive; mais «ne analyse tou,tç #D&blable, appliquée au cas de A néf«twt> conduirait, après <te$ changement* de détail, préôsérncat à ta même formule. Le cas cfe & négative se ramène d'ailleurs à celui de k positive, en posant h= — i, a?= — y, f(x)=F(y), d'où f(x)daf=V(y)dy = -F(y)dx9 F(y)=-f{x) et généralement F»(y)=( — l)V*(a?). De là on conclut sans peine en développant F (y -fi), c'est-à-dire f(x + h), suivant les puissances de k, l'entière généralité de la fonnule que nous venons d'obtenir.

Quelques géomètres écrivent encore le dernier terme de cette manière ,

h* d*.((x.....x+h) 2.3./i.....fi dxV-

afin d'indiquer que l'on doit mettre pour x dans ce terme, sous le signe de la fonction, une des valeurs de la variable comprises entre x et x •+• A. Cette valeur est inconnue; mais

on sait que l'on a une limite supérieure des valeurs de /{«+ h)

en mettant celle qui rend *'\ ' le plus grand possible , et ax*"

une limite inférieure de f[x -f- h) en mettant celle qui rend -T£- le moindre possible. Il est évident d'ailleurs que si la

* . d^.flx)

ronchon ; est constamment croissante ou constamment axr

décroissante depuis oç~x jusqu'à x=x-\-h, les limites dopt il s'agit seront données par les valeurs * ^ qui répondent

ixz=xelkx=x+h.

86. On peut, comme dans le n° 81, faire x = 0 dans l£ formule précédente, puis écrire x au lieu de h, ce qui donnera

/';=fio)W(o)+Çno)+gno)+ + ï£j^wm,

* désignant toujours un nombre dont la valeur n'est pas déterminée, mais se trouve comprise entra 0 et l'unité. On obtiendra deux limites entre lesquelles la valeur de {(x) sera nécessairement comprise, en mettant dans le dernier terme» pour f*(tx), la plus petite et la plus grande valeur que prenne ce coefficient différentiel dans l'intervalle de 0 à x.

#7. Au moyen de l'expression du reste de la série de Taylor, que nous venons de donner et qui est due à Lagrange, la solution des questions relatives à la convergence et à la somme de cette série devient plus facile. En effet, la série est nécessairement convergente, et a pour somme f[x-\- h) , si la valeur du

.* . • h* d*.fix + *h) . . A f

terme complémentaire -— — ^— r devient plus