jl dx* r

petite que toute grandeur donnée lorsque le nombre yaugmente indéfiniment. On trouvera plus loin, § XI, l'application de ce principe général à des exemples choisis.

Des cas où, pour certaines valeurs particulières de la variable , la série de Taylor ne donne point le développement de la fonction.

88. L'existence de la série de Taylor suppose que la fonction y = f[x), et ses coefficients différentiels f[x), f{x), etc., ne deviennent pas infinis pour la valeur de x à partir de laquelle l'accroissement désigné par h est compté. Si le contraire a lieu , la série sera en défaut Soit par exemple la fonc-

tion f(x) de la forme - — ^-r-, m désignant un nombre po-

sitif , et F(x) une fonction de x qui ne devient pas nulle ni infinie lorsque x=:a. Si, conformément aux règles précé-

FYt -X- K\

dentés, on développe ; — : . \ en une série ordonnée

rr (x + k — a)m

suivant les puissances entièresde h, tous les termes deviendront infinis lorsqu'on y fera x=a. Cependant la fonction a alors

une valeur déterminée qui est [ /f . Mais comme le dé-

veloppement de cette valeur suivant les puissances de h doit nécessairement présenter des puissances négatives de cette quantité, il ne peut plus être donné par la série de Taylor.

89. Soit encore la fonction log.a?. Tous les termes du développement de log.(ar + h) deviennent infinis lorsqu'on y fait x = 0. Cependant la fonction présente alors une valeur déterminée, qui est log. A; mais cette valeur ne peut être représentée par une série ordonnée suivant les puissances entières de h> puisque log. h = — - lorsque h = 0.

90. La série de Taylor donne naturellement des résultats indéterminés, lorsque la fonction proposée f(x) contenant des radicaux, la valeur particulière attribuée à x fait disparaître ces radicaux dans la fonction et dans ses coefficients diffe-

renliels. Pour en concevoir la raison , il faut remarquer qu'un radical de la forme ^(x — af, p et q désignant des nombres entiers, qui fait partie de la fonction f[x), donne à cette fonction autant de valeurs différentes réelles ou imaginaires qu'il se trouve d'unités dans le nombre q. Gomme ce même radical se reproduit dans les coefficients différentiels de la fonction, ces coefficients présentent eux-mêmes, comme cela doit être, un nombre q de valeurs. Ainsi il y a, à proprement parler, autant de développements particuliers et différents les uns des autres que le radical dont il s'agit présente de valeurs. Mais si Ton donne à x la valeur particulière a, le radical disparaît de tous les termes de la série, tandis qu'il subsiste toujours dans la fonction, où il est devenu yl*. Donc la série ne peut plus alors représenter la fonction, puisque celle-ci a plusieurs valeurs, tandis que la série n'en aurait qu'une. L'analyse résout cette contradiction en donnant des valeurs infinies aux termes de la série, qui ne représente plus alors de résultat déterminé. Le développement de f[x) doit, dans le cas dont nous nous

p occupons, contenir des termes affectés de hq. On connaîtra

ce développement en faisant dans la fonction proposée x = a + h, et développant f(a + h). Les puissances fractionnaires de h paraîtront dans ce dernier développement. 94. Soit, par exemple

f{x) = 2ar — x* + a^x*—a* 9

qui donne

ax v xi — ai

or1

Avt — " ' , "»

** jx*-a*

etc.

En faisant x = a, on a f[x) = a*, et les coefficients différentiels de tous les ordres sont infinis. Cette circonstance indique que le développement de f[x -+- A) doit ici contenir des puissances fractionnaires de A lorsque x=a. La fonction devient alors en effet

f(a+h) = a*—ht+a\fh ^/2Ô+/Tf

dont le développement suivant les puissances de A contiendra

les termes A% A*, A% etc.

9f . On doit remarquer d'ailleurs qu'un radical contenu dans la fonction f[x) peut disparaître de deux manières différentes lorsqu'on attribue une valeur particulière à la variable xf savoir : 1° parce que la quantité contenue sous le radical deviendrait nulle; 2» parce qu'un facteur dont ce radical serait affecté deviendrait nul. Dans le premier cas le développement déduit de la série de Taylor ne peut jamais convenir à la fonction f(x -(- A) pour la valeur particulière de x dont il s'agit, par la raison indiquée n° 90. Mais il n'en est pas de même dans le second cas, parce que le facteur dont le radical est affecté, et qui devient nul dans la fonction, peut cesser d'affecter ce radical dans les coefficients différentiels des ordres supérieurs, en sorte qu'il ne disparaîtrait pas , et que la série présenterait en conséquence le nombre de valeurs nécessaire. Cette série convient donc aux cas dont il s'agit, et donne une valeur déterminée.