Si par exemple la fonction proposée était

f(x) = (x — ay* ^x — 6 ; m étant un nombre entier positif, on trouverait

Chaque dlfférentiation fait disparaître dans le premier terme oo des facteurs de (# — a }*. Après an nombre m de difféitotiations ces facteurs auront entièrement disparu, et par conséquent la supposition x = a, en rendant nuls tous les coefficients différentiels des m premiers ordres > laissera subr te radical \fï — b dans tous les autres.

Pofeitri des quantités qui se présentent mus ta forme indéterminée -.

94 Les notions précédentes s'appliquent directement a la fBcWhe de la valeur des fractions , telles que

qui, pour une certaine valeur m = & de la variable f se réduisent à l'expression indéterminée -.

La valeur x = a étant supposée réduire à zéro les deux tenues /"jxj et F(#), demander La valeur de la fraction dans te cas, c'est évidemment demander la limite dont s'approche

indéfiniment le rapport ~-L lorsque x tend à devenir égale

t « Or, tant que la variable x demeure indéterminée , on

peut toujours, en développant les deux fonctions par le théorème de Taylor, poser l'équation

f(x+h) f{x) + W + T f"{x) + Û r{x) + etc" F{x+h) ¥(x) + h¥'(x) + h~ F"(*)+ ~ JT(x) + etc.

Supposons d'abord que les deux développements ne tombent point, lorsqu'on donne à or la valeur particulière a, dans les cas d'exception considérés dans les n°* 88 et suivants. On aura évidemment la valeur demandée en faisant d'abord x = a9 puis en examinant vers quelle limite tend le second membre lorsque h tend à devenir égale à zéro. Or, puisque f(a) et F (a) sont nulles par hypothèse, cette limite est évidemment

c'est-à-dire le quotient des coefficients différentiels ou des fonctions dérivées du premier ordre des fonctions f(x) et F(x), dans lesquelles on a fait x = a.

Si la valeur x = a faisait aussi évanouir ces deux coefficients différentiels du premier ordre, on trouverait alors de la même manière

Cftî

pour la valeur demandée. Et ainsi de suite en prenant toujours pour la valeur de la fraction proposée le quotient des deux premiers coefficients différentiels que la valeur ar= a ne rend pas nuls en même temps.

. Mais si le premier coefficient différentiel , qui ne s'évanouit

pas au numérateur, n'était pas du môme ordre que le premier coefficient différentiel qui ne &* évanouit pas au dénominateur,

ilesl visible que la valeur demandée sentit 0 ou -t c'est-à-dire

nulle ou infiniment grande, suivant que le nombre des tenues qui disparaissent au numérateur est plus grand ou moindre que le nombre des termes qui disparaissent au dénomina-

'rur.

I& Si Ton admet maintenant que les deux fonctions f\x) f t F j|, ou seulement Tune d'entre elles, ne puissent pas se développer suivant les puissances entières de h lorsqu'on dunoe k x la valeur particulière a, conformément à ce qu'on

I vu dans les n°* 88 et suivants , la règle précédente ne pourra plu* s appliquer. Il faudra alors, pour connaître la valeur de

la fraction ^-4, développer les deux termes de la fraction

jr ■ en deux séries qui contiendront des puissances né*

l ou fractionnaires de h7 puis faire A = 0, après avoir supprimé le facteur commun au numérateur et au dénominateur.

BR. Soit par exemple la traction

d<mt on demande la valeur lorsque jt^L Le rapport des

rodFitienls différentiels du premier ordre des deux ternies est

et en luisant «sst, on trouve n. En effet la fraction propo-

sée représente la somme des termes de 1* progression géométrique x+at? +** + ••••+ x\ Soft encore la fraction

qui est le coefficient différentiel du premier ordre de la précédente, et qui représente par conséquent la somme des termes de h série i +&r-|-3<r1 + .... -f- fia:***1. Le rapport des coefficients différentiels des deux termes est

et comme il devient - quand on fait ar = l , on prendra le rapport des coefficients différentiels du second ordre, qui est

et en faisant x = 4 on trouve ' 7" ' pour la valeur demandée.

Si la fraction proposée est

qi+«)

fi désignant un nombre positif, on a pour le rapport des coefficients différentiels des deux termes

— Wl —

Aùsi la valeur de cette fraction, correspondante & *=(), «t 5, Hu 0 suivant que l'exposant n est > I , = j , 0u < 1

1 en est de même à l'égard des fractions ^L et ^

» teignant toujours un nombre positif. Quant à la fraction

t—cos. a

—p — , U faut passer aux coefficients diffé^ntiels du se-

cond ordre, ce qui donne

cos. x

n{n—i)x*-*' Ainsi la valeur de

«te dernière fraction correspondante à *=o est -, i ou 0 ««art que l'exposant «est >S,=4, 0ll <2. 0n y0itm là qu** étant plus petite que toute grandeur donnée, ou infiniment petite, i cos.* est infiniment petit par rapport à «ouàsin.x.