On se rend compte facilement de ces résultats par la

géométrie. La fraction proposée étant çpr, soient Hn et MN

(fig. 24) les courbes dont les ordonnées sont respectivement représentées par f[x) et F (a?). Cette fraction exprime la

Pn valeur du rapport — des ordonnées des deux courbes qui

correspondent à une même valeur OP de l'abscisse x; et puisque les fonctions f[x) et F(x) deviennent nulles lorsque # = a, il s'ensuit nécessairement que les deux courbes se rencontrent en un même point de l'axe des x situé à la distance OM = a de l'origine. Demander la valeur de la fraction

^— lorsque x=a, c'est donc demander la limite vers la-

quelle tend le rapport des deux ordonnées Pn, PN lorsque la distance MP tend à devenir nulle. Or, cette limite est évidemment le rapport des deux tangentes trigonométriques des angles formés avec Taxe des x par les tangentes menées aux

deux courbes au point M , c'est-à-dire ^7-f

Si les deux coefficients différentiels f(x) et F(x) étaient nuls pour la valeur x = as les deux courbes auraient alors m point M Taxe des x pour tangente commune. La limite

du rapport des ordonnées serait donnée par la valeur ~^ ,

m le coefficient différentiel du second ordre est alors proportionnel, ainsi qu'on le verra dans la suite 9 à l'intervalle dont la courbe s'éloigne de Taxe des x» lorsqu'on s'avance sur cet axe à une distance infiniment petite du point de contact

Zlt DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS SIMPLES D*UTtB VARUBLE.

iu Fonction *™\

99* L'expression des coefficients différentiels des divers nrtlres de la fonction xm a été donnée n* 54. On a généralement

H ca résulte que l'expression de (x + fc)m, en tenant compte du reste de la série conformément à ce qu'on a vu n" 8ft, est

(3+A)"=a^+wi^-,/t+^^^^^,ft,+

G désignant toujours un nombre ( «mipris entre zéro et l'unité. Nous admettrons dans ce qui va suivre que la valeur de x nirjwla oaBp de h, et que m et h sont positives, oit plutôt sont de mémo BJgne : si ces deux quantités étaient de signée

- iO» —

opposés, et si en môme temps la valoir numérique 4e h était plus petite que celle de a , le théorème auquel naos arriverons subsisterait encore, mait il exigerait une démonstration particuliers. Les deux limites de la valeur du facteur (x + *h)m-* sont évidemment aP~* et {x + *)*~*, en sorte que la valeur du développement est comprise entre les valeurs qui correspondent à ces deux limites; et on peut prouver que le reste de la série se réduit à séro pour [i=cp. Car, en prenant un tanne de plus, les deux limites du tenue qui représente ce reste seront égales aux limites précédentes multipliées respectivement par les rapports

dont la valeur sera toujours plus petite qqp l'unité, pour des

valeurs de (& très-graades, si - est lui-même plus petit que

l'unité. Ces deux limites diminuent ainsi indéfiniment lorsque p. augmente, et il est aisé de voir qu'elles se réduisent à zéro, ainsi que le reste de la série, lorsque n=oo. La série infinie xm + etc., est donc convergente et égale à (*+*)•*. Mais elle finirait par être divetgçnie, quoiqu'elle pût être convergente dans les premiers termes, si - était > 1.