On a, conformément aux n™ 19 et

les signes supérieur et inférieur ayant lieu respectivement tmque îi est impair ou pair. Par conséquent , d après le r &5, la valeur de log. (x *f A) est exprimée par

l^+*) = log.x+log.,(|-^ + ^-.....±R^)

Le reste de la série se réduira à 0 pour ji = oo , pourvu que le rapport - ne surpasse pas l'unité. On s'en convaincra M observant que les limites de ce reste sont égales aux fac-

ÏÉ" {x~+ltfL multiPHés Par ±loS* §> ioutefàs odfl suppose que le rapport - est positif : s'il était négatif,

il faudrait une autre démonstration que nous ne donnerons pas ici, Nous supposons le logarithme pris dans un système quelconque, SU est pris dans le système dont la base est e, on feralog*e=^f.

tours — - et

402. Si l'on fait x = 4 , et si l'on écrit ensuite x à la place de h, la formule précédente donne

et si le logarithme est népérien, on a simplement

4i+*) = *--lr+3-T+ ±-(ï?<^.

Les séries sont convergentes lorsque x est compris entre -f ! et — 1.

En faisant a? = 4 la dernière équation donne

/2=4-â + |-|+|-etc-

et en faisant x = — 1 ,

'°=-5=-(1+§+i+à+et4

Ainsi la suite 4 + 5 + ^ + 7+ etc* > n>est P^ converse 3 4

gente.

Si l'on ajoute entre elles les deux équations suivantes

log-(i+aO=log.e(a;— *£ + y - j + etc.) -log.(l-x) = log.e^+y + y + y + etc)t il viendra

— io;> —

W Nous indiquerons succinctement la manière dont on a effectué le calcul des logarithmes* La série qui donne \%. I 4- x] • lorsqu'on y fait x = y — 1 , devient

hM=i<*f[ir - i - l (y - !)■+ 1 & - U* - 1 <!/-l)4+ eto,] ;

*t si le logarithme était népérien p cas dans lequel nous le topons simplement par la lettre f , on aurait

* = ir-i-|Qf-i)l+-J-Ûf-i)1-Jto-l)*+ctc.

te formules ne pourraient être employées qu'autant que le tenta y différerait très-peu de Punilé. Mais si l'on fait

ï=Vf, r désignant un nombre quelconque, la première donnera

"*.î= r log.*[^ï - 1 - ^ (^ï- i)' + | (^* - iy - Otc] ; et si le nombre r est pris négativement ,

Ces deux séries, dans lesquelles on peut donner à r telle vnleur que Ton veut, seront très-convergentes si Ton prend

fe nombre r tel que V* diffère très -peu de l'unité. Dans le «alcul que nous avons en vue, on peut supposer d'ailleurs *>f »el alors la première série ayant des termes alternatif V'Tmni positifs et négatifs , tandis que tous ceux de la se- 'iwide sont positifs , on a

tog.*<rlog.«(y£"~i) et tog**>rtog.e|WT4:\

Ce qui donne deux limites que l'on peut resserrer à volonté en augmentant l'exposant r du radical.

104. 11 est nécessaire toutefois de connaître log. e. On y parvient en remarquant que a désignant la base du système auquel appartient log. x, on a e=tf°*e; et en prenant de part et d'autre les logarithmes népériens 1 =log. e. la; d'où

log.ess r-. L'expression de ty du numéro précédent fournit,

si a diffère peu de l'unité,

et d'ailleurs les formules pour log. x , appliquées au cas d'un logarithme népérien, donnent

Le nombre la, c'est-à-dire le logarithme népérien de la base du système, est nommé par les géomètres le module. Dans le système des logarithmes népériens le modulé est égal à l'unité. Les logarithmes pris dans le système dont la base est a étant multipliés par fa ou le module, deviendront les logarithmes népériens.

406. Dans le système des logarithmes ordinaires la base a =s 10. En prenant r =260 on trouve en extrayant 60 fois la rapine carrée du nombre to,

On doil multiplier par œ dernier nombre les logarithmes ordinaires pour les changer en logarithmes népériens.

D'après cela le logarithme d'un nombre quelconque, de 3 pmemple, s'obtiendra en extrayant soixante fois sa racine onée; ce qui donne

y 3= 1,00000 OÛO0O OO00O 00095 28942 6&07& 58932, d?ou

35 289A2 6&07ft 58932 199 717W ««125 50627

rtûpeol remarquer que, d'après la formule du n° 100, on a,

vi+x=i+!

d'où Ton conclut facilement que lorsqu'on extrait la racine carrée d'un nombre qui n'a que l'unité avant la virgule, et qu'où s'arrête à deux fois autant de décimales qu'il y a de jéros après la virgule, la partie décimale de la racine «i exactement la moitié de la partie décimale du nombre.

Gomme la formule du n° 103 donne d'ailleurs sensiblement, pour x petit, log.(l+a?)=a? log. e, on reconnaît de plus que les parties décimales dont il s'agit sont proportionnelles aux logarithmes et les donnent immédiatement.

( Voyez sur ce sujet le Précis qui est devant les Tables ê$ logarithmes de (Met.)

3° Fonction exponentielle m*.

106. D'après les n" 22 et 58ona— j-^ ={lay.<f, d'oùl'on conclut

Les deux limites du terme qui exprime le reste de la série comprise dans la parenthèse sont respectivement 5-5-7 — ^

et * « hp. Dans cette expression te est le logarithme 2.3.4.... (x

népérien du nombre a. La série est convergente, quelles que soient h et x; car en prenant un terme de plus, les expressions des limites du reste seront égales aux précédentes multipliées par ' , d'où l'on conclut que les restes tendent à

• f* 1 * devenir nuls lorsque \l augmente indéfiniment.

107. En divisant par a*, puis écrivant a à la place de h , il vient

Si l'on fait x=l, on a

m qoi donne la L»ase a en fonction du module, comme la *tfie du n° 104 donne le module en fonction de la base, S uni Mta = cy on a

série qui est toujours convergente» En supposant z= \ T m i&tomf comme cela doit être, l'expression du nombre e tonnées W.

V froottlogs trUonoiut'lrlquc* sln.j? ef mm jr

Ht Nous avons , d'après le n* 59, us , / t*rA . rf'.cos*^

Par conséquent ,

r , . , É , sin.ar ,, eos.j; . . — sio..T + eos.,rJi iT"A ïpr A I

Pin.

- // = COS.J — siiljt./i j- A *+ -=-g- Aa t

bpm la valeur du sinus ou du cosinus d'un arc quelcon