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que est toujours comprise entre— 4 et -fi > les termes qui représentent les restes de ces deux séries sont nécessairement

compris entre— r-r-r et 4- j- ■. ■■■.

Les séries sont toujours convergentes , quelles que soient h et x , puisqu'en prenant un ternie de phis les limites des restes sont égales aux préeédentes multipliées par le rapport

■ , rapport qui diminue indéfiniment lorsque n augmente

de plus en plus.

409. On peut faire *=0, puis écrire x à la place de h, et qui donnera

sin.x=a:-ï5 + — — -^^^ + etc.

^X = 1^T + 2^Â"Î3[Â^6 + etC'

On a ainsi deux séries, toujours convergentes, et qui jouissent en outre des propriétés particulières aux séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs. Ces expressions ont été données par Newton.

On ne doit point perdre de vue d'ailleurs, soit en faisant usage de ces formules, soit dans toute autre occasion , que la lettre x désignant un arc est toujours le nombre abstrait qui exprime la longueur de cet arc dans la circonférence dont le rayon est l'unité. Tant que la quantité x est sous les signes sin.,cos., tang.,etc., on peut concevoir cette quantité exprimée en degrés du quart de cercle; mais on doit, quand elle est hors de ces signes, lui donner sa véritable expression. Si on continue à l'exprimer en degrés, dont 90 forment le quart de cercle, il faut alors multiplier le nombre de degrés par le

Dont\ en diffèrentiant , et considérant que dans le second membre y est fonction de t ,

;j~ a — 2coa^ fliJDuy. jg = — 3 eoa.|/. sio.i/, eos.'y = — sin.2y, cos.*y.

Ea continuant à différentiel», on trouve

-^ = — 2(cos.2p. cos.^ — sln,2jj. cmy T sîn. j/) -^

— — 2cos.3y. cos.^, jj = S.3(sîQ.3y. ca&ty + cos.3y. C0s.*y. sïn.y) ^

= 2.3 si u. A;/* cos.'y , = %&b (cos.Ai/. cas, h/ — sin.%* cos.^. siu,*/) "J = 2,3.4 cos+5ï/. ces, si/ 1

et ainsi de suite. Ainsi Ton a

ire tang. (x + h) — U + ces.*. cos.fr A — sin. 2t/. cob. V h3 /r ft

-as.3y cos»*î/ -y + afo*4y, cos. H/. —+ cos. 5^ cos.*î/ -=- — etc.,

formule qui donne l'expression de Tare dont la tangente est i+Aj M fonction de Tare dont la tangente est x. Si Ton suppose x=0> il vient

tf Èf h1

Celte dernière formule a été donnée par Leibnitz. On en déduit en faisant A = 4

expression remarquable du rapport de la circonférence au diamètre.

XII. RELATIONS QUI EXISTENT ENTRE LES FONCTIONS EXHftmiELLb ET LES PONCTIONS TRIGONOMETR1QUES.