On sait que, conformément aux notations adoptées

dans l'analyse , on exprime par le signe ^ — 4 la quantité qui , étant multipliée par elle-même, donnerait — 1. Quoique cette quantité , à proprement parler, n'existe pas , et que l'expression \/ — 4 et toutes les fondions qui en dépendent soient par cette raison appelées imaginaires , on peut néanmoins les soumettre à toutes les opérations analytiques, en considérant yj — 1 comme une constante. Nous remarquerons que Ton a pour l'expression de% puissances de y7 — *

(v/=ï)«=-i (tFï)»=i

(,pï).= vrrï

etc.

Nous rappellerons aussi que si l'on a une équation telle que

A,B,P,Q étant des quantités réelles , on en conclut nécessairement

A = P et B = Q;

par conséquent si Ton a

A + B^=T=P, ou À + Bt/^T = QVc::ï

oc en conclut de la même manière

A = P et B = o, ou A = o et B = Q.

Ml La quantité imaginaire

a+byf^ï

peut toujours se mettre sous la forme

pCcos-ï+V^sin.?),

p et ? désignant deux quantités réelles , dont les valeurs sont déterminées en posant

pcos.<p = af d'où p= +v'a,+6*, cos.ç=-»

b pSID.f=09 sin.? = -•

La quantité p, qui est toujours un nombre positif, est appelée le module de l'expression imaginaire a + b J — 1 ; <p représente l'un quelconque des angles, dont le cosinus et le anus sont donnés par ces expressions.

113. Cela posé, reprenons le développement de la fonction f donné n* 107, qui est

f=i+s+g + JL. + x 4. F .+ — ±. — + * -fête.

r* mfo. s

En substituant dans cette équation x^—i à la plaee de x, elle deviendra

etc.

Or, en comparant la série du second membre aux développements de cos. x et sin. x donnés n° 109, on voit qu'elle revient à cos.ar+ ^ — isina, Donc

**^""1 = cos. x + s/^ sin.*

et en changeant le signe de x ,

*""* 1 = cos.*— v£=ïsin.a?;

équations qui ont été données par Euler, et qui sont d'une grande importance dans l'analyse.

On en déduit immédiatement

sin.£ =

^•-î — tr*^