VC=T

414. Les formules précédentes peuvent être regardées comme renfermant tous les résultats que Ton peut tirer de la considération des angles. En effet, si l'on multiplie Tune par l'autre les équations

e*^ = cos.x -f v/--i sin. a?

e^^ = cos. y + ^Ïsïtl y ,

on trouvera

e>*)^=cos.xc©&y— sixuiato ,y+^l(oo**8iiLy +■!».» •o&y).

Mais d'un autre côté

4»*iW=i = cos.(x+y)+ v^ï sta.(*+y) :

donc, d'après ce qui a été dit n° 111,

cos.(x+y)s= cos.x oos.y — bïilx sin. y siiL(x+y)=:cos.a:sin,3/ + sin,a?cos.t/

formules dont on déduit toute la trigonométrie.

145. On peut former, au moyen des expressions de cos. x et sin.x en exponentielles imaginaires, celles de toutes les autres lignes trigonométriques. On a, par exemple,

ou

On tire de cette équation

1— V— i tang.a?

et par conséquent

x 1 fl+yPTtang.a?

Donc, en développant le logarithme par la formule qui est

i la fin du n0 402, on a

x = tang.x — r tang.'jr + - tang.5 x — - tang.7x + etc.

Nous retrouvons ainsi la série de Leibnitz, qui a été donnée ci-dessus, n° 110.

446. Il importe de considérer d'ailleurs que les développements

^ = * + £ + #U^ + n#U + etc.

2 ^ 2.3 ^ 2.3.4 ^ 2.3.4.5 etc.

an. x = x — =T5 +

subsistent, lorsqu'on donne à l'arc x une valeur quelconque imaginaire x = m-\-n\f^i. On peut vérifier, en effet, que la substitution de ro-f-ny^ — 4 à la place de x dans la première série, ou la multiplication des deux séries qui représentent respectivement les valeurs de e" et c*vCrT donnent le même résultat On remarquera de même que

sin. (m+nyj— 1) =■ sin. m . cos. n^— 1 4- cos. m . sin. n^— i:

or si, après avoir formé les développements de sin. m et de cos. n s[— 1, oh les multiplie l'un par l'autre, et on les ajoute au produit des développements de cos. m et de sin.ny/ — 4, on trouvera le même résultat qu'en faisant x = m + n ^ — 4 dans la série qui représente la valeur de sin. x. On a également

cos. (m-fny— 1) = cos. m . cos. n^/-^l — sin. m . 8in.*v/— 1 î

et l'on reconnaît que la différence des produite des développements de cos. m et cos. n ^ — 1, sin. m et sin. n ^ — 1, donne le même résultat que la substitution dem-f n y' — 1 à la place de x dans la série qui représente cos. x.

Il résulte de cette remarque que les équations posées dans les n» 113 et 114, qui expriment les relations existantes entre les fonctions exponentielles et trigonométriques , conviennent également aux cas où l'on attribuerait à la variable x la valeur imaginaire m-fn ^ — 1.

Formule de Motvre. Résolution des équations binômes. 117. Reprenons l'équation du n* 113

e**-*~= cos. x + \/— 1 sin.x ,

dans laquelle x représente un nombre quelconque, et où Ton peut attribuer indifféremment le signe + ou le signe — au radical sj — i. Si l'on écrit mx au lieu de x9 m désignant aussi un nombre constant quelconque (pourvu qu'il soit réel), il viendra

em*/ZT=cos.mx + ^—isin.mx.

Hais si Ton élève les deux membres de l'équation précédente à la puissance m, on aura

tt = (cos.a? + y^Tsln. j?)w.

Donc

(COS.X+ ^^^sin-*)m==c()a»n^ + ^—ïsin.wu?t

formule très-importante dans l'analyse, qui a été donnée par Moivre.

D'après oe qui précède, cette formule se trouve démontrée , quelle que soit la valeur de l'exposant m. On peut y parvenir bien simplement dans le cas où m est un nombre entier positif en formant les puissances successives de cos. x + /-- ï &in. *, En effet, on a évidemment

(cos. j?+ v'-^T sin. xj1 = cos.'a? + 2 ^T^iiL x cos. m — sin.** ,

d'où résulte

(ooe. x + sf^i'fâ^xf = cos,fcr + ^i &u$x :

on a de même

(cos.x+ v/^^Tsin. x)8=(cos.x+ v^îsin.x) (cos.2x+ v/^ïsin.2x;t

d'où l'on tire, en développant

(C0S.X+ v'-^sin.j?)5 = cos.3a?+ v^ïsin.ax t

et ainsi de suite.

118. La formule de Moîvre donne immédiatement l'expression des racines des équations

*»— l%=e «t flf + is:!,

n étant un nombre entier. Supposons, en effet,

x = p(cos.<p + ^— i sin.9) f

p étant > 0 et <p désignant un ttgfe quelconque. On aura donc

x* = p*(cos.n9 + sj^ï sin.it?) ;

et, en substituant daas l'équation xn — 1=0,

P*(cos.n<p + ^— 1 sin. n?) — 1 = <)•

Cette dernière équation ne peut être satisfaite, d'après ce qui a été dit n* 141, qu'autant que Ton aura séparément

2nc ?"cos.H9 — 1 = 0 et sin.n? = 0; d'où 9 = — etp = it

i désignant un nombre entier quelconque. Donc

2tr: , — r , 2tV x=cos. hv^— isin. — t

expression qui doit donner toutes les racines réelles et imaginaires de l'équation xn — 1=0. En effet, faisant i=0, on a d'abord x=i, ce qui est la racine réelle que cette équation donne nécessairement : faisant encore t = 2, t = 3, i = &, etc., jusqu'à i = n — 1, ou aura n — 1 autres racines différentes, qui toutes appartiennent à la proposée. En faisant t = n, on retrouve la racine réelle x=l. En faisant t = n-|-4, on retrouve la même racine qui avait été donnée par la supposition de t=£; et ainsi des autres. Ainsi la formule précédente exprime bien les n racines réelles ou imaginaires de l'équation xn — 4=0, et seulement ces n racines, qui répondent aux premières valeurs de t depuis 0 jusqu'à n — 4 inclusivement. Nous remarquerons d'ailleurs que dans le cas où le nombre n est pair, l'expression générale des racines donne, en faisant

i=-,x= — 1, c'est-à-dire la seconde racine réelle qui

appartient alors à l'équation proposée.

— HO- Les racines de l'équation a? — 1=0 ou **=4 , qui sont exprimées respectivement d'après ce qui précède par

* = cos.^+*/=ïsin.^

Il II

x = cos. h v— 1 sin. —

* = co8.^ + V/=ri8in.^

* = cos. ^ + voisin. 5î

, = co*3^ + ^sin.*£=i*.

sont appelées rootn** de l'unité.