Si l'on substitue l'expression

x = pfcofl.? + 0— lsin.?)

dans l'équation x*+ 1 =0, on trouve de même

P*(cos.n? + ^ïsin.nf) -f 1 =0 f

équation qui ne peut être satisfaite qu'autant que l'on a séparément

P*cos.n<p4-l = 0 et sin.ny = 0; d'où 9=ri-i±^cetp=it

t désignant toujours un nombre entier. Donc, l'expression

.««ffttt + ^TattSLiiJî n v n

doit donner toutes les racines de l'équation x*-f*=0-

En faisant successivement t=0,t = l,i=2, etc., jusqu'à t=n — i, on trouve effectivement, comme dans le cas précédent, n valeurs différentes qui sont les n . racines demandées. Et si Ton supposait ensuite i = n, î=n + l, i— n-f2, etc.. ces mêmes valeurs se reproduiraient successivement dans le même ordre. Lorsque le nombre n est pair, les racines dont il s'agit sont toutes imaginaires; mais s'il est impair, l'expression générale des

racines donne, en faisant î = , x = — 1, c'estrà-dire

la racine réelle unique qui appartient alors à l'équation proposée.

120. Ces résultats deviendront plus sensibles si l'on remarque que la circonférence du cercle (fig. 25) ayant été partagée à partir de l'extrémité 0 du diamètre en 2n parties égales, on trouvera, en considérant les points de division 0,2,4,6,8, etc., de numéro pair, les arcs auxquels appartiennent les cosinus et sinus qui entrent dans l'expression des racines de l'équation xn — 1=0; et qu'en considérant les points de division 1,3,5,7,9, etc., de numéro impair, on trouvera également les arcs auxquels appartiennent les cosinus et sinus qui entrent dans l'expression des racines de l'équation x* + l = 0.