Remarquons que les différents angles compris dans

. 2ûc (2î + l)it - A .

les expressions — ou - — • — — sont toujours tels que le

même cosinus, et des sinus égaux et de signes contraires, appartiennent à deux de ces angles. L'ambiguïté du signe radical ^ — 1 exige en effet que chaque racine de l'équation oc*-— 1 =0 puisse également être exprimée par

* = cos. — + v— 1 sin. — n Y n

et par

Or, si l'on multiplie l'un par l'autre les deux facteurs do premier degré

*— ooél — — V^-ïsin. — et #— cos. — + v^^Tsia —,

on trouve pour résultat l'expression réelle

** — 2a? cos. — + 1, n

qui représente d'une manière générale les facteurs du second degré appartenant à l'expression xn — i. En effet, si Ton attribue à t, dans cette expression, toutes les valeurs

entières qui ne surpassent pas -, et si on régale à zéro,

on aura autant d'équations du second degré qui donneront les racines simples de la proposée. Il faut remarquer toutefois qu'en faisant t=0, l'expression dont il s'agit devient a?* — &r-|-i, ou [x — \) (x — 1). Cependant on ne devrait prendre que le facteur simple #— 1 , si Ton voulait reproduire la proposée par la multiplication des facteurs correspondant à ses racines. De même , en faisant t = -, lorsque n

est un nombre pair, l'expression précédente devient j^+2*+ l , ou (x-f- 1) (x+ i), et néanmoins on ne doit compter que le seul facteur simple x -\-i.

On verra de la même manière que les racines imaginaires de l'équation x*-f-i=0, multipliées deux à deux, pro-

«luisent des ftcteuro réels du second degré, doDtl'exprowion

générale est

et donne lieu à des remarques semblables aux précédentes.

12Î. Les résultats auxquels on vient de parvenir s'appliquent évidemment aux équations, telles que

«• — a = 0 ou a?* + a = 0 ,

i désignant un nombre quelconque; car, en faisant— -=if,

elles reviennent à y* — 1=0 et y* -f 1 =0. On voit donc que la racine n™ du nombre quelconque a présente généralement n valeurs, qui sont égales au produit de la valeur arithmétique î/a multipliée par les * racines de l'unité; c'est-à-dire que Ton doit concevoir, afin de donner aux expressions la généralité que comporte l'analyse, la racine a" de + <* représentée par l'expression

V VC0S,"jr + V— ^ sul — j;

et de même la racine n** de — a représentée par l'expression

On obtiendra les n valeurs cherchées en attribuant successivement à t les valeurs entières 0, \, % 3 n — 1. Quand

il s'agit de ^-fa , il n'existe qu'une seule valeur réelle *sja, si n est impair; et deux valeurs réelles ±Vâ, si n est pair. Quand il s'agit tle ^ — a , H existe une se*h valeur

— irréelle — % a , si n est impair ; et il n'existe aucune valeur réelle si n est pair.

123. L'obligation qui nous est imposée de considérer dans tous les cas l'expression nyja , a désignant un nombre quelconque positif ou négatif, comme présentant un nombre n de valeurs distinctes réelles ou imaginaires, donne lieu à faire quelques remarques nécessaires pour l'interprétation générale de la formule de Moîvre, présentée n0 117,

(cos. * + v^— lsin.a?)m = cos. mx + sj— 1 sin. mx*

Tant que le nombre m est entier, chaque membre de l'équation a une valeur unique, et ces deux valeurs sont identiques, comme on s'en assure en formant la puissance m de cos. a? + / — 1 sin. x par la multiplication. Mais si l'exposant

m est une fraction - ou plus généralement un nombre fractionnaire - (p et q désignant des nombres entiers premiers

entre eux), le premier membre doit, d'après ce qui précède,

présenter q valeurs distinctes. Or on mettra ces valeurs en

évidence si Ton introduit dans le second membre le facteur

2tn , , — t . 2t7t cos. h y — 1 sm« —

/ — 1 sin. — qui donne les q racines de l'unité, H 9

en y attribuant à t un nombre q de valeurs entières consécutives quelconques. Nous écrirons donc

(cos.a?+ v^==ïsin.x)« = (cos. -x+ y/— i sin. -a?) (cos. — + ^— isin.— )

ou, ce qui est la même chose ,

(cos.x+s/— lsin.x)'= (c

|cos.H±2L* + ^sin.Pî±^;

ou enfin , puisque p étant un nombre entier on peut écrire fi au lieu de t ,

(coix+ v/=Tsin.x)*= cos. ? (x+2t*)+ \/^Tsin. 5 (a+2t*).

Ainsi tout se réduit pour obtenir les q valeurs que doit présenter le second membre de l'équation

p (cos. a?+ v7-— 1 sin.x)* = cos. - x+ v7— 1 sin. ? x ,

à concevoir que l'on augmente successivement l'angle a?

des multiples 0, 1, 2, 3, q — 4 de la circonférence 2*.

424. Les résultats précédents donnent également la résolution des équations de la forme

x*1* + ax* + 6 = 0.

En effet , en prenant d'abord la valeur de x*, on a

et si le second membre est réel , il reste simplement à résoudre l'équation

Vï-'-.

semblable à celle du n° 422.

Si le second membre est imaginaire, c'est-à-dire si b étant positif a* est < 46 , l'équation proposée , en posant

cos. 9 =t /!!Letîj= — , peut être remplacée par l'une

oo l'autre des deux équations suivantes :

y** — 2cos.0.y* + i = O, y,n + 2cos.0.y* + i = S,

selon que le second terme est négatif ou positif. En considérant d'abord le premier cas, et substituant dans l'équation

y*n— 2 cos. 0. y* + 1 = 0 l'expression

y = p(cos.<p + V— lsin.?),

où p est essentiellement positif, il vient

P*(cos.2?i<p+ v^ïsln^?)— 2p«cos.0(cos.w?-f- ^ùbLHf)+i=9;

c'est-à-dire

PlH6os.2n9— 2pHcos.^.cos.nf + 1 = o P**sin. 2*1? — 2pncos. g. sin. ny = 0,

à cause de sin.2n<p = 2sin.n<pcos.n<p, la dernière équation donne

pH= COS.0

" cos. n? '

valeur que je substitue dans le second membre de la première équation mise sous la forme

— = 2cos. g cos. n«p — p* cos.2n?.