COS. (7 A

Je trouve ainsi — = ±- , d'où résulte o* = ± ou p=4 ,

p cos.ncp r pw r '

puis

cos. n? = cos. g , c'est-àrdire 9 = 2^=5 ,

— in —

• désignant toujours un nombre entier quelconque. Les racines demandées sont donc représentées par l'expression

y = coe. — — s + v^-Tsin. — r-*»

dans laquelle on donnera à t toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu'à *. Les facteurs réels du second degré appartenant à l'équation dont il s'agit sont représentés par

y1— fycos. — jf-^+4-

En considérant ensuite le second cas, et substituant dans

l'équation

y»*+ 2 cos. g. y*+ 1 = 0 l'expression

y = P(cos.ç+ ^— isin.?), on trouve encore p= 1 , puis

C08.R9=— cos.?; d'où ? = * w7 — -.

Les racines sont alors exprimées par

elles facteurs réels du second degré par

125. La décomposition des équations à deux termes en facteurs réels du premier et du second degré correspond à une proposition géométrique très-remarquable , connue sous

le nom de Théorème de Cotes, qui l'a donné le premier. À étant le centre d'un cercle (fig. 26 et 27) dont le rayon est égal à l'unité , soit portée sur un diamètre la distance AB= x. Soit un angle quelconque OBI compté à partir de ce diamètre, et désigné par <?. Appelons y la distance Bl. On aura évidemment

y = ^(cos. 9 — a?)f+sin. 9»

y* = a? — 2xcos. 9+ i.

Cela posé, imaginons que l'on ait partagé à partir du point 0 la circonférence 2* en un nombre 2n de parties égales, et désignons respectivement par y0> yn y„ y,....^-, les longueurs des lignes BO, Bl, B2, B3, etc. En attribuant successivement à l'angle 9 dans l'expression précédente de y'

O.ÏT i.X 2.* 3.7C

valeurs — , — , — , — ,.

cette expres-

sion donnera

y*=x*— 2j;cos. — 4- i n

y^rriP1— 2XC0S. — -f 1

2 n y * =. a:*— 2a COS. — -f 1

y,* = jr«— 2XCOS. — + 1

y.^**— 2XC0S. — -f- 1

yg^af*— 2xcos. h 1

yV^x'-fcrcos. ^— 2î + 1

Or, 3 est visible qu'en prenant respectivement les y* de numéro pair ou les y' de numéro impair, nous avons ici les facteurs du second degré des fonctions x* — 1 et a* +4 dont les expressions générales ont été données n° 121. On voit de plus que les divisions également éloignées des extrémités du diamètre AB donnent pour y des valeurs identiques, en sorte qu'on a toujours 5^=^ , yw^=y»+t> etc- Enfin, on observe que, d'après ce qui a été dit dans le numéro cité, on ne doit prendre qu'une fois les facteurs simples donnés par les facteurs du second degré qui répondent aux points de division placés aux extrémités du diamètre. D'après cela, on aura évidemment

*" — * = !fo- V%* Vf Vk !h»-*

3" + i = Vf Vf ys* y1 ih*-i *

équations qui renferment l'énoncé du théorème de Cotes.

Si la construction était laite dans un cercle dont le rayon

ftt p, on conserverait aux lignes de la figure leurs rapports

en réduisant le rayon du cercle à l'unité, et x k -. Donc on

* également

«* — p* = y0« Vf !/♦• Vt v*»-*

«■ + p* = yv ys. ya. y7 V**-* »

ït»!fi> ï«> *tc* représentant dans ces dernières équations les longueurs des lignes BO, Bl, B2, etc., dans le cercle dont le rayon est p.

426. Une construction semblable s'applique à la décomposition en facteurs des équations a?n — 2cos.y.a;* + l=0 et «J"+2cos.jjf.«,, + 4«=0, dont on s'est occupé n° 124. D'après les expressions des facteurs réels du second degré qui appartiennent à ces équations, et qui ont été données