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dans le numéro cité, on reconnaît que les carrés des lignes BO, B4 , B2, etc., représenteront ces facteurs, pourvu qu'au lieu de diviser la circonférence en 2n parties égales, à partir de l'extrémité C du diamètre sur lequel est portée la distance AB=ar, on commence cette division (fig. 28) à partir du
point 0, après avoir porté l'arc C0=?. Ainsi, en désignant
toujours par y0 , y, , yf , y8 , etc. , les lignes BO, Bl , B2, B3, etc.. on a également
a1*— 2 cos, y. «* + 1 = y*, y,. y4.y,.. tfe-t
x,K + 2 cos. g. a? + 1 = y,. yv yv y7. ,, .... y^.,.
Cette dernière proposition, dont 1* précédente n'est qu'un cas particulier, a été donnée ppr Moîvre.
Remarques sur les expressions imaginaires. Expressions générales des logarithmes et des sinus et cosinus.
4i7. Les propriétés des expressions imaginaires sont uniquement fondées sur les notions exposées aux nm 444 et 4lî, et sur l'identité des expressions e*^"1 et cos.x+V/— ï s*0-1, qui a été remarquée dans le n° 413 , et qui conduit immédiatement à la formule de Mofette donnée n* 447. Noos nous bornerons ici aux remarques les plus simples sur ce sujet.
Les propriétés principales des fonctions simples aT, tog.x. a*, sin.x ou cos. a, subsistent également lorsqu'on donne à la variable x une videur imaginaire.
La nature de la fonction sT consiste en ce que l'on a jTxn=xm**. Or, en posant
x = s(co&.t+4j^ïsim>Ht
ont
*" =i*(cos. t + ^Tsin. f)m = 5*(cos. mt + y^ïsin. mt) * = ^(coa. J + ^Tsio. 0* = **(cos. m + V^Tsio. ni)
et par conséquent
a*a*= 5*+*(cos.(m + n)t + ^î stn. (m -f n)t) = £•*•
428. La fonction a? doit également donner a* a* =<?+*. D'ailleurs on peut toujours considérer à la place de a* ia fonction e* ; car posant d*=e*, et prenant de part et d'autre le* logarithmes népériens, il yàent x\a~vy en sorte qu'il suffit de multiplier y par la pour changer a* m **• Mais en faisant x=jh+h^— \ y et y=p + q^ — 4, nous avons
e» = ^r^T=\= €m% e»rr= ew(cos. n + s/— 4 sin. n) «t = eH^V"=î— ep# efV^r— ^9(cos. 9 +V— Mn. ?)• Donc
Observons d'ailleurs que la transformation de a* en e*, opérée en multipliant x par te, suppose que la soit un nombre qui puisse être assigné , c'est-à-dire que « soit un nombre réel et positif. La propriété de la fonction a9 dont il s'agit ne ae subsiste pas sans restriction, lorsqu'on veut attribuer au nombre 0 des valeurs négatives ou imaginaires.
439. La nature des logarithmes consiste en ce que l'on a toujours log.£y = log.£4-log.y. Cette équation subsistera également en donnant aux vajtabèes a, y des valeurs quelconques réelles ou imaginaires, pourvu que la base a du système de logarithmes soit toujours un nombre réel et positif, conformément à ce qui a été dît n* 64. En effet, nous pou-
— levons considérer te à la place de log.o? , puisque, d'après le n° 104, il suffit de multiplier log.a? par la pour le changer ente. Or, en posant x=s (cos. t+s/ — 1 sin.l), y=u(cos.t+ ^ — 1 sin.t?), et se rappelant que, d'après le n° 113, e'^— cos.t-\-\J — ï sin.f, d'où tyj — 4=i(cos.f-|-v' — 1 sin.f), nous aurons
ly = Iti+v^— 1,
d'où
Ix + ly =z l. su + (t + v) ^— 1 = /. xy.
130. Remarquons d'ailleurs qu'en multipliant par * les deux membres de l'équation «•^=r=cos.ar+V — lsin.x, A désignant un nombre réel quelconque, puis, prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous avons
lh+x^— 1 = l[h(cos.x+ ^— isin.a;)].
Or, l'expression A(cos.x+^ — 1 sin.a?) peut, d'après le n° 112, représenter un nombre imaginaire quelconque m-fn\/ — 1; d'où l'on conclut que l'équation précédente donne l'expression générale du logarithme népérien des nombres imaginaires. Ce logarithme est égal au logarithme népérien du module A, auquel est ajouté le terme xj^î* De plus, l'expression h (cos. x + V — 1 sin. x) représentera également un nombre réel quelconque positif lorsqu'on y supposera l'arc a = Stic, t désignant un nombre entier; et un nombre réel quelconque négatif lorsqu'on y supposera a?=:(2t+i)7t. On a donc respectivement]
ih + 2i« v^T lh + (2i + i)* sf^ï
pour les expressions générales des logarithmes népériens du nombre positif h, et du nombre négatif — h. Ces expressions doivent être admises, parce qu'elles satisfont aux équations ^— x, et lx + ly=.l.xy qui résultent immédiatement de la définition de la fonction logarithmique. On voit que le logarithme de tout nombre positif a une seule valeur réelle qui répond à i=o, mais que le logarithme d'un nombre négatif a toutes ses valeurs imaginaires.
131. L'expression précédente du logarithme d'un nombre résulte d'ailleurs de l'équation
b==r[^-i--|^— ly + J^-iV-ete.]
qui a été donnée n° 103. En effet, si l'on suppose le nombre r infiniment grand, cette équation se réduit à
lz=zr(*— i).
0r9 on doit, pour lui conserver toute sa généralité, y concevoir conformément au n° 122, z¥ comme représentant le produit de la racine arithmétique yfz par les r racines de l'unité. On doit donc écrire, avec la condition de faire r infiniment grand,
te = r[£(«*Ç+tf=ï*J^-l]f
OU
fe = r(^z.cos.— — ij+ ^— t.y/z.rfûsL— .
Mais r étant infiniment grand, on peut remplacer dans le
2tit premier terme du second membre cos. — par l'unité; et
dans le second terme yfz par l'unité, rsin. — - par St*. Ce second membre se réduit donc à
r(^*-l)+2tK^Tf c'est-fc-dire lz+ïto^î.
S'il s'agissait d'un nombre négatif, on verrait de la même manière que les racines réme9 de — % étant exprimées
généralement, d'après le »• 425, par J/Ffcos. ' * ' ** +
)J — 4 sin. - — *y *J , l'équation précédente donne pour l'expression de (( — *)
