En faisant î=0 dans l'équation

on trouve ic = — — { . expression singulière du nombre *

qui a été donnée par Jean Bertiotiilli. On à d'ailleurs plus

généralement n = ' '- — . Les équations de cette na-

(2Î + 4)^=Ï ture sont des Conséquences immédiates de la relation qui existe entre les développements des fonctions f > sin. a* et cos.x, et s'interprètent sans difficulté d'après cette remarque.

433. On reconnaît également que les propriétés essentielles des fonctions trigonométriques sin, a; et cos.x, qui sont exprimées par lés équations

sîil(x + y) = sin. x cos. y «f sin. y cos. x cos.(x + y)=cos.xco&y — sin, x sin. y,

conriennetit également aux cas où les variables x el y son supposées imaginaires et remplacées respectivement par les expressions m+n^— 4 et p-f-g^ — 4. Il suffit, pour en être mare, de ae rappeler les remarques qui ont été flûtes dans les n« 114 et 440,

134. Si Ton veut d'ailleurs connaître les expressions générales du sinus et du cosinus d'un arc quelconque réel ou imaginaire, on remarquera que

cos.(m + îiy^l) = cos. m. cos. n/^î — sin. m. sin. ny^ï sto.(ro + n^—i)= sin. m. cos. *^— 1 + cos.m. sin. n^— 1.

Mais les expressions de cos. a? et sin. or en exponentielles qui oot été données n° 113, et qui conviennent, d'après le n° 116, au cas où l'on attribuerait à x la valeur imaginaire »^— 4, donnent

co*»V^ = ^jf^t sin.n|PÏ = !

Donc ws.{m+nJ^T) = ?~**g* cos.ro— ^J. tlzîl ^^

sin.(m-f n^— l) = — 2— sin.m + ^— 1. --—cos.wi.

435. On ne donnera pas ici plus d'étendue à ces notions, et Ton ajoutera seulement que toutes les relations analytiques qui peuvent être établies entre les quantités réelles et imaginaires ne doivent être admises qu'autant qu'elles peuvent être justifiées et interprétées au moyen des équa-

lions fondamentales qui oui été données au commencement de cet article, et qui reposent elles-mêmes sur l'identité des développements en séries toujours convergentes

des expressions e™^ et cos.a?+ /-— ï sin.x. On a vu d'ailleurs par les remarques précédentes que

les fonctions simples de la quantité imaginaire m+nj^ï se transformaient toutes dans des expressions de la forme P + Q v^ — 4. On en conclura que la même chose doit arriver pour les fonctions composées de celles-ci. Il en est de même à l'égard des fonctions iÉverses, telles que arc sin.xou arc cos. a:; et en général on admet que toute fonction formée de quantités imaginaires peut se ramener à la forme P + Q v^ — *> P et Q désignant des quantités réelles.

Expressions des puissances du cosinus ci du sinus d'un arc en fonction des cosinus ou des sinus des arcs multiples.

436. Les géomètres ont donné plusieurs séries au moyen desquelles les cosinus ou sinus des arcs multiples sont exprimés en fonction des puissances du cosinus et du sinus de Tare simple, et réciproquement. La discussion et l'interprétation exacte de ces formules exigent l'application des notions qui ont été présentées n09 444 et suivants, et l'on peut voir sur ce sujet les Leçons sur le calcul des fonctions de Lagrange (10* et 44" leçon), et l'ouvrage de M. Poinsot intitulé: Recherches sur l'analyse des sections angulaires. On se bornera à présenter ici les expressions suivantes, dont l'usage est utile dans le calcul intégral, en se bornant même au cas des puissances entières et positives du sinus et du cosinus.

- i37 — Soit fait

eo8.x+^— isin.j; = tf, d*où 2cos.a?=«-M>

oos.s— ^— lsin.a: = v, 2^— lsin.x=u— v,

En développant la puissance mdeu+f par le binôme de Newton, et supposant d'abord que m soit un nombre entier positif, on a donc

(2 C0S.X)»= VP+mtf*"1 V+ V^lZL2 ttm-i 01+ +vm .

ou en remarquant que tw=i ,

(2coa.a;)1l>=tim4-mii,--< + m^m"~ ' n»-» + +u»\

Comme on a d'ailleurs généralement par le théorème de

Moi™, n° 117, w"=cos. Jiwp+ V~* s"1- »œ , cette équation peut s'écrire

Pcos.a:}»=:cos.wuî+mcos.(m— 2)a?+ 2^=yc08,(m--A)a?+

+ +cos.nu?

+Vr:rï(sln.wu;+msiiL(m— 2)x+ ?5£??p*W(m— 4)* +

+ — sin* mx ] •

La suite qui forme la première ligne présente des termes qui sont tous égaux deux à deux , à l'exception d'un seul , dans le cas où m est pair. Quant à la suite qui forme la seconde ligne, elle est toujours formée de termes qui se détruisent réciproquement. Ainsi Ton a simplement dans le cas dont

il s'agit; i* si l'exposant m est pair

LX)'»=2| c

(2cos.x)",=2 1 cos.»u;+mcos.(m— 2)x+ ^*p^ <*«.(*•— â)*+"

2e si l'exposant est impair

(2cos.x)-=2 I cos.mx+ mcos.(m— 2)x+ ??(!*A> coa (*-*)*+-

t cos.x I.

437. Une analyse semblable donnera l'expression des puissances du sinus. En développant la puissance m de u— r dans le cas de m entier et positif, on a

(^—1.2 sin. x)m =tf*— mti—1 v + gfeLzll M«*-t „i ± ^

ou parce que ut? = 4 ,

(^=T.2siiLar)*= «-—mil—1 + g(gLliJ ti— * =b W.

Les signes -f ou — ont lieu respectivement lorsque m est pair ou impair. Mettant ensuite pour u* l'expression cos.

(v^2an.x)"=cos.ma?--co&(m--2)a;+ m*m~"" 'cos.(m— &)g—

: COS. tlLT

+ V—ï ( sin^itu?— msiiLfm— 2)x+^^ — -sin.(ro— 4>r—

.dbsin.mxj.

l' Si l'exposant m est pair la seconde ligne se réduit a zéro , et l'on a

-i)7{2sin.x)"=2 1 cos.mx— mcos.(m— 2)x+ ~^y^cos,(m— û)x— .... ±

w(»-i) ^ 1 w(m-lX*i— 2> (? + *)

Les signes supérieur et inférieur ont lieu respectivement lorsque m est un multiple de 4 ou un multiple de 2.

P Bi l'exposant m est impair, la seconde ligne se réduit à zéro, et Ton a

i; ! 2shLx)»=2| siiutiu:— msin.(ro— 2)*+ ^^ situ (m— *>*-....:*:

^--^ COS.*

ks signes supérieur et inférieur ont lieu respectivement lorsque m est un multiple de 4 ou un multiple de 2 augmentés de l'unité.

XIII. EXTENSION DE LA FORMULE DE TAYLOR AUX FONCTIOKS DE PLUSIEURS VARIABLES.