Considérons la fonction

dans laquelle x et y représentent deux variables indépendantes. On suppose que ces variables prennent respectivement les valeurs x+hf y+t, et il s'agit d'obtenir le développement de la valeur que prendra la fonction, c'est-à-dire de f(x + h, y+t), ordonné suivant les puissances des quantités h et t. Pour y parvenir, on posera A = a £ et t = «), et considérant la quantité f{x+a£, y + «n) comme une fonction du nombre quelconque a, on écrira

FWsrffc + o^y + orç).

Or, on peut développer F (a) suivant les puissances de « au moyen du théorème donné au n° 86. Nous prendrons donc successivement les coefficients différentiels des divers ordres de F (a), qui seront exprimés ainsi qu'il est aisé de le reconnaître, par

etc.

en écrivant, pour abréger, f au lieu de f(x+<&, y+*r. ■

— Ul —

Puis nous ferons dans les valeurs de ces coefficients a =0, ce qui donnera

dz m dz

<Pz

etc.

Nous aurons donc en appliquant la règle du numéro cité,

d*zt

te

d&dy d*z

dxdyi

dy*'

rW

2T3 + etC"

ou, en remplaçant «î par A et «j par t ,

Ar+â.f +•)=*+ SA^^ + __+__ + etc.,

cte d»s . rf>* OT d's kH

+ dyx+ dxdy1"* dx*dy 2 + dr»dy2.3

^i» d*z kP d>z M

+ dy* 2 + dsefy» 2 + ds'dy» 2.2

+ rfy» 273 + dxdy* 2.3 , d** t*

+ 1TÀ

dy* 2.3.4

développement dont la loi est évidente. Le second terme est la différentielle complète du premier ordre de la fonction z, oô Ton a écrit h à la place de dx et t à la place de dy. Le troi-

sièaie terme est sa différentielle du second ordre, où l'on a fait les mêmes changements, divisée par 2. Le quatrième terme est sa différentielle complète du troisième ordre, où Ton a fait les mêmes changements, divisée par 2.3; et ainsi de suite.

Les notions précédentes s'étendront sans difficulté aux cas où la fonction proposée contiendrait plus de deux variables indépendantes , et où Ton supposerait que ces diverses variables subissent toutes des accroissements. Les termes successifs du développement sont toujours les différentielles complètes du 1er, 2% 3*, A% etc. , ordres de la fonction proposée , où Ton a remplacé la différentielle de chaque variable par la quantité dont on la suppose augmentée, et qui sont divisés respectivement par 4,2,2.3,3.3.4, etc.

439. La formule précédente donne également le développement de la fonction *=f(x, y) suivant les puissances de i et y. En y faisant #=0 et y=0; puis écrivant a? à la place de h , et y à la place de t, il vient

rf*z0 a? d*z0 x*

d& 2.3 <Pz o?y

+ eta,

+ dyV+ dxdy*»* d$*dy 2

d*zt

+ **♦£ + ^ dy* 2 ^ dxdy*

"*" dy* 2.3

, . dz0 dz0 d**0

ou nous représentons par *0 , -j-2 , -p , -r-£ , etc..

les valeurs que prennent respectivement les fonctions

4z dz i*z *' d* ' dû 9 5*""* ' eUi'' ï^sq^on y fait en même temps

*=0 et y=0.

Il en serait de même si le nombre des variables indépendantes était plus considérable.

J40. Si l'on veut arrêter b série à un terme déterminé , et connaître les limites de la valeur du reste que Ton néglige, comme on Ta fait dans les numéros 84 et suivants à l'égard des fonctions d'une seule variable , il est visible , par les principes établis dans ces numéros, que dans le développement de F (a] Ton devrait dans le terme auquel on veut s'arrêter, remplacer « par 6a , au lieu de faire «=0 ; et par conséquent dans le développement de f[x + h, y-\-i) remplacer x par *+•&, et y par y-j-Ot, en désignant toujours par 0 un nombre indéterminé compris entre zéro et l'unité. On connaîtra ensuite les limites cherchées en attribuant ; dans le terme dont il Agit, à 6 les valeurs qui le rendent k plus grand ou le moindre possible.

Par exemple, si dans le cas de la fonction de deux variables ^ f (9, y \ on s'mrrëte ma tmaes à* &Qtd**, m aura

fa+A, K+i)=* +

dz

d*zli*

-6t) As

dx

dx* ï +

dx*

dz

d*z dxdy

<P.f(x+Qh,y+Qi)+H dafidy 2

(Pz P

dV(x+6Afy+W) «• dxdy* 2

d*.f(x+to9y+%i) i»

rfy» 2.3

iH. 11 an aérait de même è l'égard du cas ou la fonction e* développée suivant les puissances ascendantes des deux variables x, y. Si l'on s'arrête aux termes du 3* ordre, et si l'on pose lar=a^ *y=y', on aura évidemment

+ dy V + dydx*** dx*dy' 2 , ^y1 , d*.f(x',y')xy* * dy* 2 ^ dx'dy* 2 dW. y') y»

+ Wtil

En attribuant à 6 les valeurs qui rendent l'expression du reste le plus grand et le moindre possible, on aura deux limites entre lesquelles la valeur véritable du développement se trouve

XIV. MAXIMA IT MmiMA DBS FONCTIONS D'UNE OU DB PLUSIEURS VARIABLES.

143. Considérons en premier lieu une fonction réelle d'une seule variable

et représentons-nous l'ensemble des valeurs que prend cette

fonction lorsqu'on donne à x toutes les valeurs possibles de-

puis— - jusqu'à +-. Si les valeurs de la fonction y après avoir

été croissantes deviennent décroissantes, la plus grande de ces valeurs est dite un maximum; et réciproquement si ces mêmes valeurs, qui diminuaient progressivement, viennent ensuite à augmenter progressivement , la plus petite est dite un minimum. On voit qu'il est possible qu'une fonction n'ait point de maximum ni de minimum, ou qu'elle en ait plusieurs. La question consiste à déterminer les valeurs de la variable

indépendant*» x , s'il en existe, qui répondent aux inaxima ou aux minima de la fonction.

Si la valeur a de x répondait à un maximum de la fonction réelle/^x), il est visible que f[a) serait plus grande que /"(a-f h) et /(a— h) , h étant une quantité moindre que toute grandeur donnée. De même si la valeur a répondait à un minimum, f[a) serait plus petite que f{a-\-h) et f(ar—h). D'après cette remarque, la question dont il s'agit peut être facilement résolue.

En développant /"(x-f h) par la formule de Taylor on a généralement

et d'après les principes expliqués dans les n°* 83 et suivants, nous pouvons arrêter cette série à un terme quelconque, en substituant aux termes omis une expression dont la valeur est comprise entre des limites qu'il est toujours facile d'assigner. Admettons en premier lieu que l'on s'arrête aux termes du second ordre, et écrivons

* désignant un nombre compris entre zéro et + *• H s'agit de reconnaître les conditions nécessaires pour que f[a) soit plus grande que f{a±h), h pouvant être supposée aussi petite qu'on le veut. Or il est visible qu'en prenant h aussi petite qu'on le voudra , on pourra toujours faire dépendre

le signe de la somme des deux termes 'x h-\ x— — —

du signe du premier terme seul — r^— i*> puisque — ~r^ — -

1" AMKËX. 10

d.f[x) pourra toujours être rendue plus petite que -j— • D'où l'on

conclut ^ 4« que f(a) ne peut être plus grande que f{a+kj ,

quel que soit le signe de h , à moins que V/ ne soit nul

et que Y\ ' ne soit affecté du signe — j 2° que f[a) ne peut être plus petite que f(a+k) , quel que soit le signe de A, à moins que -4~ ne ^ nu* y et 9ue JL» ne *& affecté du signe +.

Ainsi, pour qu'il y ait maximum ou minimum lorsqu'on fttit x=«, il est nécessaire que cette valeur a rende nul le coefficient différentiel du premier ordre ; et il y aura maximum ou minimum suivant que cette même valeur donnera le signe — ou le signe + au coefficient différentiel du second ordre.

443. Il pourrait arriver d'ailleurs que la valeur dont il s'agit rendit nuls les coefficients différentiels des deux premiers ordres. Dans ce cas il est nécessaire de considérer les termes suivants du développement et d'écrire

Le même raisonnement qui a été fait ci-dessus montre» que si les termes ' h+ " — disparaissent lorsqu'on fait a? = a, la valeur a ne peut répondre à un maximum ou à un minimum qu'autant qu'elle fera disparaître

également le terme Vj, ^-r; et qu'il y aura maximum ou

minimum suivant que pour cette môme valeur le coefficient

différentiel du 4« ordre j\l sera négatif ou positif. ax

En général , il ne peut y avoir maximum ou minimum pour une valeur donnée de x qu'autant que le premier coefficient différentiel que cette valeur ne rend pas nul est d'un ordre pair; et il y a maximum ou minimum suivant que ce coefficient différentiel prendra le signe — ou le signe +.