H pourrait arriver encore que la valeur a de x

déterminée par l'équation ^ ou -~ = 0 , rendît infinis ax ax

le coefficient différentiel du second ordre et les suivants. On serait averti par là , conformément à ce qui a été dit dans le v 88 et les suivants, que la formule de Taylor ne peut exprimer la valeur de la fonction en série ordonnée suivant les puissances entières de h. Les règles précédentes ne peuvent donc plus s'appliquer. On doit examiner d'une manière spéciale la marche des valeurs de la fonction , ce que Ton fera facilement en la développant suivant les puissances fractionnaires ou négatives de h après avoir fait x=a. Il faut observer aussi que l'analyse précédente exclut implicitement les maxima et correspondant à une valeur de a, pour laquelle la

dy dérivée -p- serait infinie ou discontinue. ax

145. Les notions précédentes deviennent bien sensibles en considérant les courbes dont l'ordonnée y représente les valeurs de f[x), et en admettant, pour fixer les idées, que f[x) et ses dérivées sont des fonctions continues. Il est évident, en effet, qu'il ne peut alors y avoir maximum ou minimum que dans des points ro,*,/>, g, r,i(fig. 29), où la tangente est parai-

ày

lèle à Taxe des abscisses, et où l'on a •— = 0. De plus il v a

dx r

maximum en m et en p lorsque, la courbe présentant sa

d*u concavité au bas de la page , -r^ est négatif; et il y a mini-