IX
muni en n et en q lorsque, la courbe présentant sa con-
vexité au bas de la page , ^-~ est positif. Les quantités né-
gatives sont ici regardées comme étant d'autant plus petites
que leur valeur absolue est plus grande.
du On reconnaît également que la condition -^ = 0 n'en-
dx
traîne pas nécessairement l'existence du maximum ou minimum , parce qu'il y a des points pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe des x, sans que la fonction ait cessé de croître ou de décroître. Mais ces points sont généralement des points d'inflexion, dans lesquels change le sens de la concavité de la courbe, et où le coefficient différentiel du second ordre devant changer de signe prend la valeur zéro. Nous reviendrons dans la suite sur les caractères analytiques qui appartiennent aux divers points nnguliers que les courbes peuvent présenter.
14(5. On voit donc, d'après ce qui précède , que pour trouver les maxima et minima de la fonction proposée y = f(x)y en excluant ceux qui rendent infinie ou discontinue la dérivée f\x)> il faut poser l'équation
qui , étant résolue par rapport à x , donnera les valeurs demandées. On jugera si ces valeurs répondent à un maxi-
iQum ou à nu minimum en les substituant dans le coefficient différentiel du second ordre -r-~, et voyant le signe qu'elles
lai font prendre. Si ce coefficient différentiel devenait nul, on passerait aux suivants conformément à ce qui a été dit ci-dessus.
Si la fonction y n'était donnée que d'une manière implicite, au moyen d'une équation F(x, y) = 0, on égalerait de même à zéro son coefficient différentiel , déterminé conformément à ce qui a été dit dans le numéro 44. L'équa-
. dy
tion —- = 0 contiendrait alors x et y : mais en éliminant y
entre cette équation et F(x,y)=0, il resterait une seule équation en x qui donnerait les valeurs cherchées.
147. Les mêmes principes s'appliqueront aux fonctions de deux variables. Mais, pour plus de simplicité, nous supposerons toujours que le théorème de Taylor convient au développement de ces fonctions, ce qui arrive dans la plupart des applications du calcul différentiel. Soit
z=rf[x,y).
En développant f( x + h , y -f i ) d'après ce qu'on a vu dans l'article précédent, on aura
dy Jxdy
dV(g+8ft,y+Q{) t»
+ àf 2
• désignant une fraction. Or en prenant h et i suffisamment
petits, on rendre toujours le deuxième terme — A-f- y*
dx dy
plus grand que le troisième terme, et par conséquent le
signe de leur somme dépendra du signe du deuxième terme
seul. Donc pour que les valeurs x = af y=b répondent à
un maximum ou à un minimum de la fonction z, ce qui
exige que f(a, b) soit plus grande ou plus petite que f(a ±: A,
6dbi), il est nécessaire que le terme — A-f- -y- t soit nul;
dx dy
et par conséquent puisque les quantités A et $ sont absolument indépendantes Tune de l'autre , que Ton ait séparément
— = 0 , — = 0. De plus , il faut qu'en donnant une valeur
quelconque aussi petite que l'on voudra aux accroissements , d*z A» , d*z ... d*z »*
A et fia quantité-
- -t-5 - soit toujours néga-
rfx* 2 ' dxdy
tive pour le maximum et toujours positive pour le minimum. Supposons d'abord que l'équation
<Pz A1 dx* i
d*z A 'dxdy 1
#z dy*
résolue par rapport à l'indéterminée -? n'ait que des racines
, ^ . ,. „ u ( dlz \% d'z (Pz
imaginaires, c'est-à-dire que l'on ait (^— j <— — ,
<Pz d*z condition qui ne peut être satisfaite que si — et — sont de
d*z A* <Pz (Pz?
même signe. Alors la quantité . - + — . At+ — -
ne pourra jamais ni devenir nulle, ni changer de signe: elle conservera constamment le signe de son premier terme ou
2?" * aura mH1Tninm S1 le ooefikaent -j-j est né-
gatif, minimum s'il est positif.
Si l'on avait au contraire
(<Pz\* <Pz fPz dxdy) ><&•*?'
les racines de l'équation
dx*'P+2dxdy* t + dtf~Q deviendraient réelles et inégalée : par suite la quantité (Pz h* <Pz . <Pz P
serait tantôt positive» tantôt négative. Il n'y aurait donc ni maximum ni minimum.
Mais le cas particulier où
( *Pz\%*z tf* \àxSy) ~dx*mdif
mérite d'être examiné à part. Alors l'équation
(Pz à1 t ft (Pz h <** — *
a ses deux racines égales, et en représentant par m la
raP^rtde^à*?'l,v,ent
(Pz h* , (Pz u^(Pz î* 1 #zf.È .„
Donc la quantité
(Pz /P , (Pz . (Pz P
(Pz
est généralement de même signe que -r-r, et elle ne devient
nulle que quand h= — mi. Il y aura alors maximum ou
minimum , si l'hypothèse h =— mi réduit à zéro l'ensemble
d*z des termes du troisième ordre et rend de même signe que — r
dxr
l'ensemble des termes du quatrième ordre. Le maximum répondra d'ailleurs aux valeurs négatives et le minimum aux <Pz
valeurs positives
dxr
148. Si les valeurs a et 6 qui rendent nuls les termes du premier ordre faisaient également disparaître les termes du second ordre, il est visible qu'elles ne répondraient à un maximum ou à un minimum qu'autant qu'elles feraient également disparaître les termes du troisième ordre en laissant subsister ceux du quatrième. De plus il faudrait que la somme de ces termes du quatrième ordre conservât constamment le signe — pour qu'il y eût maximum, et qu'elle conservât constamment le signe + pour qu'il y eût minimum. Et ainsi de suite.
149. Les résultats précédents deviennent sensibles lorsqu'on regarde la fonction z comme l'ordonnée d'une surface, dont x et y sont les abscisses. Quand la fonction z et ses dérivées sont continues, on reconnaît en effet sur-le-champ qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum en un point donné d'une surface qu'autant que les tangentes aux deux intersections de la surface faites en ce point par des parallèles aux plans des xz et des yz , sont parallèles au plan des xyy en sorte que le plan qui touche la surface au point dont il s'agit est lui-même parallèle au plan des xy. Cette
dz dz
première condition donne les équations — =0, j-=0. De
plus il faut que les deux courbes d'intersection dont on vient *
de parier présentent leur concavité du môme côté, ce qui
<Pz <Pz exige que les coefficients différentiels -r— ; et — soient de
même signe. Mais cette dernière condition ne suffirait pas seule en général, pour assurer l'existence du maximum ou du minimum. Il faut y joindre celles que nous avons données plus haut
150. On trouverait d'une manière semblable les conditions du maximum ou du minimum, si le nombre des variables était plus considérable. Soit par exemple la fonction
On aura
t d*zg% % (Pz u , <Pzh* , <Pz . , rf'z . <Pzi% + <fo*T + diïdx9n+ ir» 2 +3i^flfl+ dxdyn%+ dy* 2
+ etc. '
et Ton pourra toujours, en rendant g, h, i suffisamment petits, faire dépendre le signe de tous les termes qui suivent le se* cond ou le troisième du signe seul de ceux-ci. Ainsi les valeurs des variables v, x, y qui répondront à un maximum ou à un minimum de la fonction z doivent d'abord satisfaire aux trois équations
éo~~ * cte~~ ' dy~~
De plus il est nécessaire qu'en donnant kv,xyy ces mêmes valeurs la somme des termes du second ordre, que nous représenterons pour abréger par
A9t+2B0A+GAt+2D0t+2E/a+Ft> ,
ne change pas de signe, quelles que soient les valeurs supposées aussi petites que Ton voudra, que Ton attribue à g } kt t. Cela exige en premier lieu que A, C et F soient de même signe. Hais à cette première condition viennent s'en joindre d'autres que Ton découvrira aisément par la méthode du n° U7, c'est-à-dire en étudiant la nature des racines de l'équation
A0t+2BgA+CAH2tyî+2EM+Fît=O.
Tl est évident par exemple qu'il y aura maximum ou minimum si en résolvant cette équation par rapport à g, h ou • on ne trouve que des valeurs imaginaires. Bornons-nous à développer ce cas particulier. Résolvons l'équation proposée par rapport à g : les valeurs seront imaginaires si l'on a
(B/fc+Dt)*< A(CAî+2EAî+W) ,
ou bien
(B*—AC)Af+2(BD — AEJAî+fD1— AFJî,<0 ,
quels que soient h et $. Ainsi il faut d'abord que l'on ait
Bf— AC<0 et Df— AF<0,
puis ? qu'en égalant la quantité précédente à zéro, et résolvant par rapport à h ou à t, on ne trouve que des valeurs imaginaires. En résolvant par rapport à h, on reconnaît que les valeurs seront imaginaires si l'on a
