BD— AE)« < (B«— AC) (D*— AF

Il résulte donc de ce qui précède que les valeurs de v, x, y

déduites des trois équations

dv ' dx ' dy

répondront à un maximum ou à un minimum si elles donnent un signe commun aux trois coefficients différentiels

du second ordre -r-r, -r-r, -1-ry et de plus satisfont aux dv* dx* dy* r

conditions

(d*z\* rf*z (Pz / d*z\* d?z cPz dvdx) < dî?* àx» ' \3u3yj < cfo1 dyf •

lÎLÊz &z &z V r/ rf**\a <terfvi r/rf*z\a rf'zd'zi

Wi dcdy dv* dxdy) < L \dvdx) + cfo1 <tr*J L \dvdy) dv* dy*];

et il y aura maximum ou minimum suivant que les trois

coefficients différentiels -r-r, -=-?, tt seront négatifs ou po-

<to* dx* dy*

sitifs.

S l'équation

A0* + 2B0/i+etC. = O

avait au contraire des racines réelles inégales, le maximum et le minimum seraient impossibles. Hais si les racines réelles de cette équation sont égales, la question exigera une discussion semblable à celle qui termine le n° 447.

151 . Pour donner une application des règles précédentes, on supposera que Ton demande la plus courte ou la plus longue parmi toutes les lignes droites qui peuvent être tracées d'un point donné à une courbe également donnée. Désignant par a, b les coordonnées de ce point, et par x, y celles d'un point quelconque de la courbe, l'expression de la longueur

- 1^6 — des lignes dont il s'agit sera donc

et il faut déterminer la valeur de # par la condition de rendre cette expression la plus grande ou la moindre possible. En différentiant par rapport à x, on trouve

et , en égalant le coefficient différentiel à zéro,

d'Où £=*-.

Comme -p représente la tangente trigonométrique de l'angle

compris entre la tangente menée à la courbe et Taxe des x, on voit que ce résultat exprime en premier lieu que les lignes les plus courtes ou les plus longues , menées du point donné à la courbe, doivent couper cette courbe à angles droits. Si Ton prend ensuite le coefficient différentiel du second ordre, il vient

itx-ar+b-brp

et en supprimant le second terme , qui est nul en vertu de l'équation posée ci-dessus, on voit que le signe de ce coefficient différentiel dépend de celui de la quantité

ds*'

Supposons d'atx>rd que -7-^ soit positif , c'est-à-dire que la

courbe tourne sa convexité vers le bas de la page. La quantité précédente sera toujours positive si y — b est positive , c'est-à-dire si le point donné A (fig. 30) est placé plus près de l'axe des x que le point M de la courbe sur lequel est dirigée la normale AM; d'où il suit que la distance AM sera toujours dans ce cas un minimum, ce qui est évident Mais

si -~ étant toujours supposé positif, la quantité y — b est

négative, en sorte que le point donné soit plus éloigné de l'axe des x que le point M, la quantité dont il s'agit sera positive, et il y aura minimum, si la distance b — y est

,î ; tandis que cette même quantité sera négaiive, et il y aura un maximum, si la distance 6 — y est

> — ~ . Or, on verra dans la suite, n* 180, que la va-

dx*

leur 6 — y = — appartient à un certain point C tel-

dx% lenient situé sur la normale, que le cercle décrit de ce point avec le rayon CM coïncide avec la courbe proposée, plus que oe peut le faire tout autre cercle, dans une étendue infiniment petite de part et d'autre du point M. Il est donc évident que ce point C doit séparer sur la normale les points A, pour lesquels la distance AtM est un minimum, et les points

A, pour lesquels la distance A2M est un maximum. Le cas où

le coefficient différentiel -t-~ serait négatif donnerait lieu à dx*

des remarques semblables.

453. Nous considérerons encore la question qui consisterait à déterminer les lignes droites les plus courtes ou les plus longues qui puissent être tracées d'un point d'une courbe donnée à un point d'une autre courbe également donnée, s, y étant les coordonnées d'un point quelconque de la première courbe, et x'y y' celles d'un point quelconque de la seconde courbe, la longueur des lignes dont il s'agit sera exprimée généralement par

expression qu'il faut considérer comme une fonction des deux variables indépendantes x, x', en regardant y comme une fonction de x seule , et yf comme une fonction de x' seule. Appliquant donc les règles exposées n° 147, on aura d'abord

et en égalant à zéro ces deux coefficients différentiels,

t-*'+(v-y')% = o, x-x'+(y-tf)$ = o,

d'où

x — x1 dy '

d£ dx'

Ainsi l'on voit en premier lieu que la ligne, dont la longueur

un on maximum ou on minimum, doit couper les deux courbes à angles droits. Prenant ensuite les coefficients différentiels du second ordre, il vient, en supprimant les termes nuls en vertu des équations précédentes.

d*l "*"<** dscf

tf vlx-xy+to-in* **<& v/(X^»+(y y-)»

rf*" v^(x-a?')*4-(y-yy),

D'où Fon conclut que, pour qu'il y ait maximum ou minimum! il faut d'abord que les quantités

soient de même signe, et de plus que la condition

soit satisfaite. Cette dernière condition suffirait seule : elle entraîne nécessairement la précédente.

Cas où «7 existe des relations entre les variables.

153. Dans plusieurs questions importantes, les valeurs cherchées des variables, outre la condition de rendre un maximum ou un minimum une certaine fonction V, doivent encore satisfaire à d'autres conditions qui sont exprimées par des équations données entre ces variables. Il est visible d'ailleurs que le nombre de ces équations doit nécessairement

être plus petit que celui des variables , dont dépend la fooo tion proposée V.

8oit par exemple

et admettons que les variables x , y , x doivent satisfaire à l'équation de condition

L désignant une fonction donnée de x, y 9 x. Ce qui se présente de plus naturel est de résoudre l'équation L=0 par rapport à Tune des variables, à x par exemple , et de substituer la valeur obtenue dans f(x, y% x). La fonction V ne contenant plus alors que les deux variables x, y, qui seront entièrement indépendantes , on se trouvera ramené au cas précédent.

De même s'il existait entre les trois variables xf y , * Jes deux équations de condition

on tirerait de ces équations les valeurs de y et x en xf et en les substituant dans f(xfyfx)fh fonction V ne contiendrait plus que la seule variable indépendante x.

Gomme il sera généralement très-difficile , ou même impossible , d'éliminer ainsi les variables au moyen des équations données, on peut remarquer que la condition du maximum ou du minimum de la fonction V exige que l'on ait

rfv . d\ . , dv .

et de plus que l'équation de condition L = 0 étant différai-

liée, donne

dL . , dL. , dL.

Si les variables x,y,x étaient entièrement indépendantes, les différentielles dx , (fi/ , dx étant arbitraires , la pre-

mière équation entraînerait les équations séparées — = 0 ,

j-=0, — = 0. Mais les valeurs que Ton attribue à ces

différentielles doivent satisfaire à la seconde équation. On devra donc prendre dans cette seconde équation la valeur de l'une de ces différentielles , de dx par exemple, et la substituer dans la première, qui ne contiendra plus que <fcr et rfy. On égalera ensuite séparément à zéro les termes affectés de ces deux différentielles. On obtiendra de cette manière deux équations en xyy,x, qui, réunies à l'équation L = 0, donneront les valeurs cherchées des trois variables.

S'il y avait deux équations de condition L = 0 , M = 0, on formerait les deux équations différentielles

dL. , dL . , dL ,

M. ,dM. , dU A tedx + lydV + ^dz = 0,

rfV lu moyen desquelles on éliminerait de l'équation — Ar-f-

7- iy 4- — dx = 0 deux des différentielles dx, dy9 dx. L'é- <fy J dz

quation restante, réunie aux deux équations L= 0, M = 0,

donnerait les valeurs cherchées des trois variables x,yf x.

Cette méthode peut s'appliquer quel que soit le nombre

des variables dont dépend la fonction V, et le nombre des

1" AHHÉE. U

— in-

équations de condition ; et elle n'exige que des étirtrinations entre des équations du premier degré ou linéaires.

154. Mais on parviendra au mèttie résultat d'une manière beaucoup plus simple si, ayant une fonction quelconque V des variables t>, x, y, z, etc., qu'il s'agit de rendre un maximum ou un minimum , et plusieurs équations de condition L = Ô, M=0, N = 0, etc., auxquelles ces variables doivent satisfaire, on forme les équations différentielles dL=0, dM = 0 , dN = 0 , etc., puis , multipliant respectivement ces équations , par des facteurs indéterminés X , p, v , etc., on les ajoute à l'équation dV = 0, ce qui donnera l'équation unique

dV +X4L + MM + v.rfN + etc. = 0 ,

c'est-à-dire

rfV

dv (dL \dv

rf»+S^+frf*+£^+et*)

rfl?+i>+

dM dx

dS dx

! + ^<k + ete.\j

, /dN . , dN . , dN . , dN , , 4 \

d* dM d*'

dN d5«

, , dM , , dM . , \ ) = ô , dx + ^7 dy + -j;dz + etc. j # f

etc.

En disposant convenablement de X, n, v, etc., on rendra nuls les coefficients des différentielles qu'on veut éliminer; après quoi il faudra égaler à zéro les coefficients des autres différentielles qui sont arbitraires. Les résultats obtenus ainsi seront les mêmes que si l'on avait regardé toutes les variables comme indépendantes, et par suite égalé à zéro le coefficient de chaque différentielle, dans Téquation dV-f X. dL-f-etc. = 0 : on aura autant d'équatiofls distinctes, qui , réunies aux

équations L=0, M = 0, N=0, etc., seront en nombre suffisant pour éliminer les nombres arbitraires X, |*, v, etc., et déterminer les valeurs cherchées des variables v, x, y, z> etc. 155. Sort proposé , par exempte, de déterminer parmi fous les panUéKpipèdes rectangles dont la surface est égale au nombre a*, celui dont le volume est le plus grand possible. Représentant par x, y, x les trois côtés du parallélipipède, la fonction qu'il s'agit de rendre un maximum est donc

Vz=xyz9 et l'on a entre les trois variables l'équation de condition

%xy + xz + yz) = <*.

D'après ce qui a été dit ci-dessus , on formera Y équation

yz.dx + xz.dy + xy.dz \ +\[{y + z)dx + {x + z)dy + (x + y)dz]) *

qui donne, en égalant séparérftent à zéro les termes affectés des différentielles dx, dy,dz,

& + Xy + z) = Qi a* + >(* + 2)=0» *y + X(tf+y)=*e.

Éliminant X entre ces équations, il vient

et en ayant égard à l'équation de condition ,

—«-Vf.

Ainsi la condition du maximum exige que les trois côtés du parallélipipède soient égaux entre eux.

XV. DIFFÉRENTIELLES DE L'AIRE ET DF l'aRC d'iïNF COURBE PLANE.

156. Soit la courbe quelconque Mm (fig.3l) rapportée aux coordonnées rectangulaires x , y, et dont l'équation

est donnée. L'aire de la courbe est l'espace compris entre Taxe des abscisses , la courbe Mm, et deux ordonnées quelconques PM, pm dont la position est fixée. La première ordonnée PM étant supposée conserver une position fixe, et x désignant la distance variable op, il est visible que la grandeur de Taire PMmp est une fonction de l'abscisse x, qui dépend de la nature de la courbe ou de la fonction f[x).

Nous désignerons cette fonction par t*. Il s'agit de trouver l'expression de sa différentielle 5 c'est-à-dire de la variation que subit la fonction u lorsque l'abscisse x augmente de la quantité infiniment petite dx.

Admettons que op ou x augmente de la quantité finie Ar représentée par pq. L'aire u croîtra de Au représentée par le trapèze pmnq, et l'on peut toujours supposer Lx assez petite pour que la fonction f (x) étant constamment croissante ou décroissante dans l'intervalle pq , ce trapèze se trouve compris entre les deux rectangles mp et nq. Nous pouvons donc

écrire

±u = y.bx±:M.bx,

= tf±w,

<o étant une quantité plus petite que Ai/; nous aurons donc, en prenant la limite des deux membres,

du dx

et du = y. dx.

Ainsi la différentielle de Taire d'une courbe est égale au pm-

duit de dx par la fonction de x qui exprime la valeur de l'ordonnée y, ou si l'on veut Taire de la courbe est la fonction primitive dont l'ordonnée est le coefficient différentiel on la fonction dérivée du premier ordre.

157. Considérons maintenant (fig. 31) la longueur de l'arc d'une courbe comptée à partir du point fixe quelconque M jusqu'au point m dont l'abscisse op est représentée par ar. Cette longueur étant désignée par « et regardée comme une fonction de l'abscisse x, proposons-nous de connaître l'expression de sa différentielle.

Représentons par pq la différence bx> qui peut toujours être prise assez petite pour que Tare correspondant mn tourne sa concavité du même côté. On pourra donc toujours, conformément aux théorèmes d'Archimède, considérer la longueur de cet arc comme étant comprise entre celle de sa corde mn et celle des parties mt-\-nt des tangentes menées aux deux extrémités de Tare. Donc, à plus forte raison, Tare est compris entre mr et ns, car mr est plus petite que la corde,

et st est plus grande que mt.Or mr = x \/l+ ( *y )

d.fix) puisque . représente la tangente trigonométrique de dx

l'angle que forme la tangente au point m avec l'axe des x. Soit pour abréger <p(x) =l/t+ (~w~ ) * ^ aura ^x + ^

pour la valeur de ?(#) qui convient au point n de la courbe. Donc ni = bxy(x-\- àx). Ainsi l'on doit poser

fc>A*.**) et Aj<Ag[?(*) + d-**+e-^A*];

ou si Ton veut

— Ifi6 —

» étant une quantité plus petite que y - T * — àx. D'où

rw 4àM»M , ep pne^nt la limite dçpjt Rapprochent jjwjéfioiment les deux membre? lorsque fx teniji à devenir nuUe ,

4M. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que l'ordonnée à partir de laquelle l'aire m étant comptée, ou le point fixe de la courte à partir duquel l'arc s était compté , étaient placés de manière que u et $ croissaient en même temps que «. Vil on était autrement on devrait donner le signe — à leurs différentielles, et écrire

du=-ydx, *=-*0 + (2y.

De plus le sigje de la différentielle du change avec le signe de l'ordonnée jf; et, en général, lorsque Ton compte les y positives de bas en haut, les parties de Taire d'une courbe qui sont situées au-dessus de l'acte des t sont positives et celles qui sont situées au-dessous de cet axe sont négatives.