XVI. DU CONTACT DES COURBES PLANES

159. On dit que deux courbes se touchent lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune. De plus lorsque deux courbes pq, rs touchent la courbe ron au môme point M, la courbe pq , qui passe entre les deux autres, est regardée comme ayant avec la courbe mn un contact plus intime que

nc le fait la amibe rs. Les géomètres distinguent ainsi des jpoptacts de divers ordres dont les caractères se distinguent facileméat au moyen de la considération des coefficients différentiels ou fonctions dérivées.

Soient

y = f(x) et ff = i<aO

les équations des deux courbes rapportées à des coordonnées rectangulaires : x désignant l'abscisse du point commun aux deux courbes ,etx-\-h l'abscisse d'un point voisin de celuici, leurs ordonnées correspondantes seront respectivement

Si elles ont une tangente commune au point dont l'abscisse esta:, on aura en ee point non-seulement 7(2) = f(x), mais

-y-L= j . Cette condition étant satisfaite, on est assuré dx dx

qu'atome autre ligne ayant pour équation y = tyx) ne peut

passer entre les deux courbes proposées, à moins que Ton

n'ait également ^^ = -^L En effet la différence des

ordonnées des deux courbes proposées correspondantes à x + k peut être exprimée par

/d*.f(x + Qh) d*.f(x + Qh)\h* \ dx* dx* ) 2 ;

tandis que si la condition dont il s'agit n'avait pas lieu, la différence entre l'ordonnée de la troisième courbe et celle de la première serait exprimée par

(d.m d.f(x)\. (d*.Kx + Bà) d*.f(x + Qh)\ h* \ dx dx ) ^\ dx* dx* J 2'

qu'elles se touchent, suivant que leur contact est d'un ordre I pair ou d'un ordre impair.

163. Les lignes paraboliques sont les plus simples que l'on puisse mettre en contact avec une courbe donnée. Soit toujours

l'équation de cette courbe , et

y = À + R» + Grt + I*ra + + ttr» ,

l'équation d'une courbe p^raJ>oliqiie du degré fi. A,B,C.

D, H représentent des coefficients constants qui doivent

être déterminés de manière que la courbe parabolique ait un contact de Tordre m avec la courbe proposée dans le point dont les coordonnées sont x, y'. Ce contact aura lieu d'après

ce qui précède si les valeurs de y, ■/-, -3-=^, -p2- dédm-

tes de la seconde équation sont égales quand on fait «=£ aux valeurs des mêmes quantités déduites de la première. Or, Ja détermination des constatées A, B, C....H se trouvera de suite effectuée de manière à satisfaire à cette condition si l'on prend ppur l'équation de la courbe parabolique

ainsi qu'il est facile de le vérifier.

L'équation de la courbe parabolique dont il s'agit contenait n+ 1 constantes arbitraires, et on a pu lui donner un contact de l'ordre n avec une courbe quelconque proposée. En général on peut toujours établir entre une première courjte et une seconde, en un point donné de la première.

un contact dont l'ordre est marqué pjjur le nombre des constantes arbitraires contenues dans l'équation de cette seconde courbe diminuée d'une unité.

164. Si l'on se bornait au premier degré on aurait simplement

équation d'une ligne droite qui touche la courbe y = f[x) dans le point dont les coordonnées sont a? et y. Aucune antre droite ne peut passer entre la courbe et la tangente dont il s'agit.