C08.X= = , COS.4UL

On peut donner indifféremment le signe + ou le signe —

an radical l/ i +(-jp) ? "^^ on doit lui donner le même

signe dans les expressions des cosinus des deux angles qui se rapportent à la môme ligne. Suivant le signe que l'on donnera à ce radical , les deux angles se rapporteront à la partie de la ligne qui est d'un côté ou de l'autre de l'origine des coordonnées. Lorsque ce radical est pris positivement, il est entendu que l'on considère la partie MS (fig. 32) de la tangente qui est située par rapport au même point M du côté des x positives, et la partie MN de la normale qui est située par rapport au même point du côté des y positives.

169. On peut aussi, en désignant, comme dans le xf 157. par ds la différentielle de Tare de la courbe, exprimer par

daf 0 du'

C0S.a=— et 008.6 = ^

les cosinus des angles que la tangente au point m forme avec les axes des x et des y ; et par

^ dy' drf

cos.X=^ et cos.^^

les cosinus des angles que la normale au même point forme avec les axes des x et des y. Dans ces formules Pélément difrentiel ds' doit être regardé comme pouvant prendre à volonté le signe + on le signe — , puisque rien ne règle d'avance dans quel sens l'arc s est compté. Mais on doit toujours lui donner le même signe dans les deux formules correspondantes. Suivant que l'un prendra dJ positivement ou négativement, les angles a, 6, ou X, p se trouveront comptés à partir de Tune ou de l'autre des portions de la tangente ou de la normale qui sont séparées par le point de la courbe.

170. Soit le point M (fig. 32) d'une courbe , et supposons la tangente et la normale menées en ce point prolongées jusqu'aux points T et R où elles rencontrent Taxe des x. L'ordonnée y* du point de contact est représentée par MP, et l'on a

La tangente WI = ^-- = — * — x /

dx*

La sous-tangente VT = t-^ — = -?—.

dx'

La sous-normale PR = y' tang. * = y'^>

L'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la sous-normale.

171. Nous remarquerons qoe l'équation primitive d'une courbe est souvent donnée sous la forme

L'équation différentielle est alors

dy dx

rt Ton a, conformément au n° 4A, -f- == — -=. En mettant

dx dx ~~ ~àf'

du

cette valeur de -^ dans l'équation de la tangente du n° 167, dx

elle devient

(ta passe de l'équation différentielle de la courbe à l'équadela ta »— ï'

tion de la tangente en remplaçant le rapport -^ par le rap-

L'équation de la normale devient de la même manière

rfK. ,, de, . „

On passe également de l'équation différentielle de la courbe

ày à l'équation de la normale en remplaçant le rapport -r- par

le rapport ,.

Les angles formés par la tangente avec les axes des x et des y étant toujours désignés par a et 6, on a

COS.oc = -

dy*

, cos.6 =

dx'

V£W s/WFit)

Et les angles formés par la normale avec les axes des x et des y étant toujours désignés par X et p, on a

cos.X =

dF

dx'

z==r^=:, COS.fl= 7

dF

172. Lorsque les courbes ont des branches qui s'étendent à l'infini, il arrive quelquefois qu'elles s'approchent indéfiniment de certaines lignes droites que l'on a nommées asymptotes. Les asymptotes sont des tangentes dont le point de contact est placé à une distance infinie de l'origine des coordonnées. L'équation générale

jgpC*— ^+^ûr — if) = «

convient à Tune quelconque des tangentes de là courbe représentée par 1 équation F(ar, y) = 0. Elle appartiendra à une asymptote si Ton y suppose les coordonnées af ou tf du point de contact infiniment grandes. Par conséquent, pour obtenir l'équation des asymptotes d'une courbe donnée, il faut mettre dans l'équation générale des

dF dF

la valeur de tf en af tirée de l'équation F (af, y') = 0, puis faire af infinie positive ou négative, ce qui donnera toutes les asymptotes qui ne coïncident pas avec l'axe des y, ou ne seraient pas parallèles à cet axe. On trouvera ces dernières, s'il en existe, en mettant dans la même équation la valeur de af en y* tirée de l'équation F'(af,y[)=09 puis faisant y' infinie positive ou négative, et ne considérant que les résultats qui ne correspondent pas à #' infinie.

473. Le même procédé peut s'appliquer au cas où il s'agirait non pas d'une ligne droite, mais de toute autre courbe asymptotique. Après avoir déterminé, conformément à ce qu'on a vu dans l'article XVI, l'équation de la courbe y = ©(#) de manière qu'elle ait un contact du premier ordre avec la courbe y~f(x) dans le point dont les coordonnées sont x',y', on connaîtra la figure que doit affecter la courbe y=y(x) pour qu'elle soit asymptote de l'autre en substituant dans son équation les valeurs de y en af, ou de af en yf données par l'équation tf=f(af)9 puis faisant af ou y' infinie.