L'équation de la logarithmique

2/ = lqg.a?

donne, en changeant l'une pour l'autre les coordonnées; l'équation

a désignant la base du système de logarithmes, que nous

supposons toujours plus grande que l'unité. L'équation dHFé~ rentielle déduite de cette dernière est

dy = la, aPdx :

ainsi Ton aura respectivement pour les équations de la tangente et de la normale

y — tf=ita.a"(x— x1)

(Tmf

On trouve également

sous-tangente = ~- , sous-normale = la . a1*'.

Ainsi la sous-tangente est constante et égale au module du système de logarithmes. Hais la sous-normale augmente rapidement à mesure que le point de contact s'éloigne de l'origine des coordonnées.

Si d'après ce qui a été dit n° 172, on remplace y' par sa valeur a*' dans l'équation de la tangente , il viendra

y — az' = la.a?'(x— x*).

Faisant ensuite x' = — - cette équation se réduit à

d'où Ton coaclut que Taxe des y est asymptote de la courbe du côté des x négatives II faut remarquer ici que Ton doit prendre 0 pour la valeur du terme — x'a*' lorsque

Ton fait a/ = — -. Car ce produit revient à -$, dans lequel on ferait #' = ::• Or a étant > 1 , la est positif. L'équation a*' = i -f dl* + -5- (te)1 + donne par suite

a* > fL (/a)» et % < — =— 2 v ' cr x'(lay

Donc la valeur du rapport

dont il s'agit a zéro pour limite quand x' est supposée croître de plus en plus et devenir plus grande que toute ligne donnée.

178. On a nommé cycloïde la courbe décrite par un point d'une circonférence de cercle roulant sur une ligne droite. Les propriétés très- remarquables de cette courbe ont plusieurs applications importantes dans la géométrie et dans la mécanique. Soit c (fig. 33) la position actuelle du centre du cercle , et m celle du point de sa circonférence qui décrit la courbe. Nous prendrons pour axe des x la ligne droite sur laquelle roule le cercle , et pour origine des coordonnées le point 0 où le point m se trouyait sur cette ligne à l'instant où le mouvement a commencé. Les coordonnées x, y étant donc représentées par opetwip, on aura évidemment, en désignant par R le rayon du cercle dont le mouvement décrit la courbe , et par o> l'angle mer compris entre le rayon vecteur cm et le diamètre de ce cercle qui est perpendiculaire à Taxe dès#/

x = B(to — sin.w), y = R(l — cos.w);

d'où

cos. o> = — 9 , sin. w = * * — — *

et par conséquent

La normale coupe toujours l'axe *des x au point où cet axe est touché par le cercle générateur.