XVIII. CERCLE OSCULATEUR. DEVELOPPEES DES COURBES PLANES

179. La ligne la plus simple après la ligne droite est le cercle, et comme son équation contient en général trois constantes dont on est libre de disposer, on peut donner à un cercle un contact du second ordre avec une courbe quelconque. Revenons aux notions présentées dans les numéros 159 et suivants. Soit

l'équation d'une courbe quelconque proposée, et

r équation d'un cercle quelconque, a et 6 désignant les coordonnées du centre, et f le rayon. 4° D'après ce qui a été dit numéro 16-4, on donnera à ce cercle un contact du premier ordre avec la courbe proposée au point M dont les coordonnées sont x\ y', si l'on détermine les constantes a, 6 et p de manière qye l'équation du cercle et son équation différentielle du premier ordre, qui est

dv' soient satisfaites par les valeurs de x\ y'9 -~ qui appartiennent au point M dans cette courbe proposée. Nous avons

dx* duc*

«te"

r~ dy

expressions qui font connaître la position du centre du cercle osculateur et la grandeur de son rayon. Le signe de la valeur du

rayon p est indéterminé à raison du radical 1 -f |-p\ \

qui peut également être pris positivement ou négativement; mais il n'en est pas de même des valeurs des quantités a — oc1 et (5 — y'9 qui sont les projections de ce rayon sur les axes des a: et des y. Le signe de ces quantités indique de quel côté de la courbe le centre du cercle osculateur doit être placé sur la normale : on reconnaît facilement que ce centre se trouvera toujours placé, comme cela doit être, du côté de la concavité de la courbe.

181. La détermination du cercle osculateur donne la mesure de la courbure d'une ligne quelconque en un point donné. Pour se former la notion de la courbure on admet qu'à partir du point de contact M on s'avance sur la courbe jusqu'à un point voisin N, et que l'on compare la distance NT de ce point à la tangente avec l'intervalle MN parcouru sur la courbe, ou plutôt avec son carré auquel la distance NT est sensiblement proportionnelle quand l'intervalle MN est très -petit. La limite vers laquelle tend la valeur du rapport de NT à MN , lorsque MN tend vers zéro , est la mesure de la courbure de la courbe au point M. Dans le cercle la courbure est égale dans tous les points, et de

Tj: . Comme le cercle oscillateur dans le voisinage du point

<fc contact s'écarte moins que lout autre cercle de la courbe proposée , on regarde la oourbure du enfle oseulateur «rame donnant la mesure de la courbure de la courbe, qui

tft ainsi proportionnelle en chacun de ses points à -, en

P teignant comme ci-dessus par p le rayon du renie oscu-

ce point U rayon du cercle oscillateur est son-

H8l appelé par cette raison rayon de rourhurc*

Renier le cercle oscillateur comme donnant la mesure

courbure de ta courbe, c'est admettre que dans mu Rendue infiniment petite de pari et d'autre du point de contirt, le cercle et la courbe peuvent être pris l'un pour l'autre.

seule hypothèse suffît pour établir les résultats pu en effet $ l'arc de la courbe compté Jusqu'au point

dftcbse est x, et t l'angle compris entre Taxe des x et httnçente de la courbe menée au nieme point, les quantités H -rtant regardées comme des fonctions de c Lorsque otte abscisse x croîtra de dxf s croîtra de d$f et t croîtra de «fr. La différentielle d^ représentera l'angle compris entre les feu tangentes de la courbe menées aux points qui réponde **ia abscisses r et x -J- dx y ou si Ton veut Hmple compris entre les deux normales menées à la courte en vm Wnw points, Or Tare rf* étant regarda emime appartenant W cercle oscillateur dont le rayon est pt on a

tfestrà-dire

l+\dx)

d'où Ton tire comme ci-dessus

nm.

dx*

La longueur du rayon de courbure étant déterminée , la position du centre du cercle osculateur est connue, puisque Ton sait que le rayon de courbure est dirigé suivant la normale du côté où la courbe tourne sa concavité.

Nous omettons ici, pour plus de simplicité, les accents dont les lettres x, y sont affectées dans les formules des numéros précédents. On n'oubliera pas qu'elles expriment les coordonnées du point où la courbe proposée est touchée par le cercle osculateur.

182. L'angle cfc , ou l'angle compris entre deux tangentes ou entre deux normales à la courbe, menées aux extrémités de l'arc infiniment petit ds, est appelé angle de contingence. Comme on déduit de l'équation précédente

ds

on voit que le rayon de courbure est égal à l'élément de l'arc divisé par l'angle de contingence.

183. Si nous supposons d'ailleurs , comme on Ta fait dans le n° 171 , que l'équation de la courbe proposée soit donnée

sous la forme

on aura d'après le n° 72,

rfF

dy __ dx ~~~ dFJ

dy

dx

dx*

/rfF\fçPF 2rfF rfF cPF \rfy/ cfcr1 dx dy dxdy

dy)

et ai mettant ces valeurs dans les expressions de a, 6 et p dunM80, il viendra

a— ar = .

«te

[®,+ osn

*(PF dFdF d*F fite* da? dy «tafy

S[(iHg)']

\<ùy dy*

(dFy^F 2dFdF d*F /dF\* d*F \dy) dx* dx dy dxdy \dx) dy*

/d¥\*d*F ^dFdF d*F /dF\*d*F \dy) dx* dx dy dxdy \dx) dy*

484 Nous avons supposé dans ce qui précède que l'abscisse x était prise pour variable indépendante. On peut aussi faire varier également x et y , en regardant ces deux coordonnées comme des fonctions d'une troisième variable quelconque. Dans ce cas l'équation du cercle et ses deux

équations différentielles du premier et du second ordre étant

(a — x)dx + (6 — t/)dy = 0 ds* + <fy* — («— a^a? — (6— y)d«y == 0 f

on trouve, en désignant par ds l'élément de la courbe , y/dx* + dy\

dyds* # cteb*

dztPy — dydtx9

dxdHj—dytPs'

rf58

dxdPy—dydïx'

On parviendrait aux mêmes résultats en substituant dans les

expressions du numéro 180 les valeurs de -pf, -r^ données

or oar

dans l'article IX pour le changement de la variable indépendante. Les résultats dont il s'agit conviennent sans modification au cas où Tare s est pris pour la variable indépendante, et où , par conséquent, la différentielle ds est supposée constante.

On peut d'ailleurs les représenter sous une autre forme, en remarquant que

(dxdhf — dyd*x)* = ds*[(d*x)* + {d*y)*] — (dxd*x + dytPy?

et d'autre part que

— dy(dxd*y — dyd*x) = ds(dsd*x — daxfo) = ds\ d (*^\ dx{dxd*y — dyffix) = ds(dsd*y— dydh) = ds*.d (Q\ .

Idonc

f/*3,tf

gL

On conclut de ces expressions qu'en représentant par X et ji les angles formés avec les axes des jt et des y par la partie de la nunuale sur laquelle est place le rayon p , on a

Ma l

B lare f est pris puut- variable indéj>etidante, on farci

A=Q,etl*on remptaoert d(— J uldi-jt-j par -^ et — ^

Les résultats au\qinl> on vït»nt di- parvenir devi< nnent Uè^sensibles lorsque la courbe est regardée comme la

d'un polygone dont le nombre «1rs câMs augmenta de plus en plus. Soient /, m, n i/fy* .'Mj trois pointe de la courbe

• e dont les abscisses op* oq* or sont jrt x -f~ dx, - dx) oux+ %dx-{-dfx* En prolongeant I are lm rfiikâtdéré comme une Itgftlâ droite, fnnuant le MttiDgfo *be ép\\ au triangle /«m , traçant rn f et menant rd et re perpendiculaires sur «r et mn (que l'on ooniklèfe é^alenient comme uoe ligue droite ) , on voit que rd repré> pMft##; rtrf, dfy; et n«, rf*f. Mars M ~ v (dîjr)' + ! «**¥)*• Dune ^f =

re

<J{é*x)t + {(Pu)s — {d*$)\Qv—?$t l'angle de

dâ

- m, e 'est-a-dire —; donc

<ii

p vpifT^Mï^'

dsc De plus -7- représente le cosinus de l'angle alm formé par la

tangente au point / avec Taxe des x. Or quand on passe du point / au point m , ce cosinus varie d'une quantité proportionnelle à la projection de ce sur mb. Donc — . cos. X =rf f T ) .

cm \as/

On a de même — . cos. v. = d ( -? ) . D'où Ton conclut cm \d8/

expressions qui reviennent aux précédentes.

Développées.