Soit toujours

V=rt*> (A)

l'équation d'une courbe donnée. Nous aurons d'après le n° 480, pour déterminer le cercle osculateur au point de cette courbe dont les coordonnées sont x, y, les trois équations

dans lesquelles a, 6 représentent les coordonnées du centre de ce cercle, et p son rayon. Les valeurs de a et 6 déduites

d? ces équations ont été données n° 180 et sont

. . - iMgn

dx*

fa*

dy d*y En mettant pour y, -r^ et -pi leurs valeurs en x déduites

OX CkT

de l'équation (A) de la courbe proposée , elles se trouveront exprimées au moyen de l'abscisse x, et donneront la position du centre de courbure qui répond à un point quelconque de cette courbe.

Quand on fera varier x pour passer d'un point a l'autre de la courbe y = f(x), la position du centre de courbure changera en conséquence. La série de ces positions formera une courbe dont a et 6 considérées comme variables représentent les coordonnées, et dont on aura évidemment l'équation en éliminant x entre les deux équations (Cl En effet, ces expressions conviennent à l'un quelconque des centres de courbure déterminés par la valeur attribuée à x : en faisant disparaître cette variable par l élimination, il ne reste plus qu'une relation qui ron vient à tous les centres dont il s'agit, c'est-à-dire a la courbe qui en est le lieu. Cette courbe a été nommée d'après Huygens la développée de la courbe donnée, dont l' équation esiy = f(x).

487. Les équations (B) appartiennent évidemment a la développée en y considérant «, 6 et p comme variables et. comme des fonctions de x. Les différentielles de res équations lui appartiennent donc également» Or, en différenciant la première équation (B) et en supprimant les termes nuls «•n vertu de la seconde , on a

(«— x)da + (6— y)d€=: pdp.

En différentiant de même la seconde équation (B) et supprimant les termes nuls en vertu de la troisième, on a de plus

d#da + dt/d6 = o. (E)

L'équation (E) exprime que les tangentes menées tut points correspondants d'une courbe et de sa développée sont toujours perpendiculaires l'une sur l'autre. Ainsi le rayon de courbure touche constamment la développée. Remarquons de plus que l'équation (D) peut s'écrire

da H * d6 = dp.

Or

— x 6 — ti

et ■ < sont respectivement les cosinus des angles formés avec les axes c}es x et des y par le rayon p tangent à la développée. Donc le premier membre de cette dernière équation représente la somme des projections sur la tangente de la développée des éléments d* et d6, c'est-à-dire la longueur de l'élément de Parc de la développée dpnt da et d6 sont respectivement les projections sur les axes des x et des y. En le désignant par d«?

c'est-à-dire en posant . da = ^/da* -f- d6f , nous aurons donc

dai=dp»

Ainsi nous voyons que tandis qu'on' passe sur la courbe proposée du point m (fig. 35) dont l'abscisse op est ar, au point n dont l'abscisse oq est jc + da?» et par conséquent du point p. de la développée au point v , l'arc jjlv compris

entre ces deux points est égal à la différence des deux rnyons de courbure mji et nv.

On conclut des résultats précédents que la cour!»* mn serait décrite d'un mouvement continu par l'extrémité d'un fil tendu qui aurait été enveloppé sur la courbe jjw, et que Ton développerait progressivement. C'est par cette raison que la courbe jxv est nommée la développée de la courbe mn. Réciproquement la courbe mn est nommée la développante de la courbe jxv. La considération des développées est d'un grand usage dans plusieurs applications importantes.

188. Si l'équation de la courbe proposée était donnée sous la forme

on remplacerait alors les équations (C), entre lesquelles x doit être éliminée pour obtenir l'équation de la développée, par les expressions de a et 6 qui ont été données n* 183. On éliminerait ensuite x et y entre ces dernières

équations et l'équation F(j?,y) = 0 de la courhe proposée.

Exemples de V application des résultats précédent*.