AU

gner au rapport — dont il s'agit aucune valeur précise, et

il est absolument nécessaire d'adopter une convention qui fesse disparaître à cet égard toute indécision.

Supposons qu'après avoir donné à àx une valeur quelconque , à laquelle répondra une certaine valeur pour Ay et une certaine direction de la sécante MN , on diminue progressivement la valeur de Aa? , en sorte que cet accroissement finisse par devenir égal à zéro. L'accroissement correspondant Ay variera en conséquence, et tendra également en général à devenir égal à zéro. Le point N tendra à se confondre avec le point M , et la sécante MN à coïncider avec la tangente MT menée à la courbe au point M. Quant

Ay au rapport ^ des deux accroissements, il s'approchera également d'une certaine limite , qui est représentée par la tangente trigonométrique de l'angle TMR formé par la tangente MT avec l'axe des abscisses.

Si la variation Aa? était négative et diminuait l'abscisse x au lieu de l'augmenter, on pourrait faire les mêmes remarques. A mesure que la valeur absolue de cette variation serait supposée plus petite et s'approchant davantage de zéro , la variation correspondante Ay de l'ordonnée approcherait également de zéro. La sécante menée par les deux points de la courbe correspondants aux abscisses x + Aj? et x tendrait de plus en plus à se confondre avec la tangente menée au point M correspondant à l'abscisse x. Enfin la valeur de rapport

Ay

t^ des deux variations s'approcherait indéfiniment de la limite dont on a parlé ci -dessus, c'est-à-dire de la tangente trigonométrique de l'angle compris entre la tangente de la courbe et l'axe des abscisses.

7. On voit que lorsque l'accroissement Ax , et par conséquent l'accroissement correspondant Ay, diminuent progrès-

sivement et tendent à devenir égaux à zéro, le rapport ~

de ces accroissements s'approche en général d'une limite dont la valeur est finie et déterminée. Or la valeur du rapport ^£

correspondante à cette limite doit être considérée comme donnant la mesure véritable et précise de la propriété dont il a été question n° 5, c'est-à-dire de la rapidité avec laquelle la fonction varie quand on fait croître la variable indépendante : car il ne reste dans l'expression de cette valeur rien d'arbitraire j elle ne dépend plus des valeurs absolues des deux accroissements Ax et Ay, ni de la figure de la courbe à une certaine distance finie de part et d'autre du point M. Elle dépend seulement de la direction de la courbe en ce point , c'est-à-dire de l'inclinaison de la tangente sur l'axe des abscisses. Le rapport, ainsi déterminé, exprime ce que Newton nommait la fluxion de l'ordonnée. Quant à la manière d'en trouver dans chaque cas particulier la valeur, il est visible qu'il puffît de considérer l'expression générale

*V f{x + te) — f{x) Lx~ Six '

et de voir quelle est la limite dont cette expression s'approche, à mesure que iuc prend des valeurs de plus en plus petites et tend à devenir égale à zéro. Cette limite sera une certaine fonction de la variable indépendante x, dont la nature dépend de celle de la fonction donnée f(x).

8. D est nécessaire de distinguer le cas où l'on regarde ainsi l'accroissement Ax de la variable indépendante comme

s'approchant indéfiniment de zéro , ou ayant une valeur indéterminée plus petite que tout nombre donné. Cet accroissement est dit alors infiniment petit. L'accroissement correspondant Ay a aussi alors en général une valeur plus petite que tout nombre donné , ou infiniment petite , dont le rapport avec &r est déterminé. Ce rapport doit être regardé comme s'approchant indéfiniment de la limite dont il a été question ci -dessus, ou différant de cette limite d'une quantité moindre que tout nombre donné.

La considération de la limite dont il s'agit étant très-importante , les géomètres lui ont affecté des dénominations et des signes particuliers. Les variations Aa? et Ay sont appelées en général les différences de la variable x et de la fonction y, parce qu'on considère Aar comme la différence de deux valeurs consécutives de x , et Ay comme la différence des deux valeurs correspondantes de y. Mais si Ax et Ay sont supposées infiniment petites, ces différences sont alors appelées les différentielles des variables x et y, et pour distinguer ce cas on emploie la caractéristique d à la place de A , en écrivant

Ay dx et dy. La limite vers laquelle tend le rapport ~ , à mesure que A.r diffère de moins en moins de zéro, est exprimée

dy dy

par -T-. La fonction de x qui donne la valeur de la limite -t£

est appelée coefficient différentiel, ou, d'après Lagrange, fonction dérivée, parce qu'elle dérive de la fonction primitive f(x), et peut se déduire de cette fonction par des opérations déterminées.

En considérant sous ce dernier point de vue la limite dont il s'agit, Lagrange représente la fonction dérivée de y ou f {x) par y' ou par f (x), notations qui sont fréquemment employées par les géomètres.

9. Remarquons que la distance NR, qui représente la différence Ay , est composée de deux parties TR et NT, qui toutes deux tendent à devenir nulles quand Ax approche d'être égal à zéro. Comme l'angle TNR a pour tangente trigonométrique

Ay dy dy

la limite de ^£ , ou -£, on a TR = -A Ax. Quant à la ligne

NT, puisqu'elle devient nulle en même temps que Ax, on peut la représenter en général par wAx , u> désignant une fonction de x et Ax. Nous écrirons donc également

Tant que les accroissements Ax et Ay conserveront des valeurs subsistantes , aussi petites qu'on le voudra , la quantité « conservera elle-même une valeur semblable ; mais si l'on pose Ax=0, on aura u>=0, puisque, dans cette hy-

Ay dy

pothèse , le rapport r~ devient égal à -r-.

Si donc on veut indiquer que l'on considère, non pas la

Ay valeur véritable du rapport -^ , mais la limite vers laquelle

tend cette valeur lorsque Ax et Ay tendent à devenir égaux à zéro , ce que l'on fait , comme on Ta dit ci-dessus , en remplaçant Ax par dx et Ay par dy , il faudra supposer u> nulle ,

dy et écrire simplement dy=z-~ dx. C'est ce qu'on exprime en

disant que la différentielle de la fonction y est égale au produit de la différentielle dx de la variable indépendante par la

limite -v du rapport -- des différences correspondantes des deux variables ; et c'est par cette raison que cette limite -.-

est nommée coefficient différentiel. Le principe dont il s'agit est mis en évidence par la nature de la notation que nous présentons ici et que les géomètres ont généralement adoptée d'après Leibnitz.

40. En résumant les notions précédentes et considérant une fonction quelconque y d'une seule variable indépendante x , on doit se représenter la variable x comme croissant progressivement depuis — oo jusqu'à -f- oo , et prenant successivement des valeurs dont chacune surpasse la précédente de la quantité dx supposée infiniment petite, c'est-à-dire plus petite que toute grandeur donnée. Cette quantité dx, exprimant la différence de deux valeurs consécutives de x , peut être supposée à volonté constante ou variable dans toute l'étendue de la série. Mais quand il s'agit d'une variable indépendante, il est plus simple, et dans l'esprit du calcul différentiel , de supposer la différentielle dx constante. A mesure que Ton passe ainsi d'une valeur a de x à une autre valeur A , par un nombre infini de termes intermédiaires séparés par l'intervalle constant dx , on passe également de la valeur b de la fonction y, correspondante à la valeur a de x, à la valeur B correspondante à la valeur A. Chaque fois que x croit de la différentielle dx, y varie de la différentielle correspondante dy , qui peut être positive ou né* gative. Nous regardons la différentielle <£r, qui est arbitraire, comme constante , et nous lui attribuons toujours la même valeur, quelle que soit x. Mais x et dx étant données , dy dépendra delà nature de la fonction. On reconnaîtra cette dernière différentielle quand on aura déterminé, en fonction de

dy Au

la variable x, l'expression de la limite -rr du rapport ^£,

puisque l'on a toujours dy = -£dx. Cette limite -£ exprime

et mesure la rapidité avec laquelle la valeur de la fonction varie dans les diverses parties de son cours, à mesure que la variable varie elle-même.

44. Nous n'ajouterons ici qu'une remarque dont l'évidence est bien frappante. C'est que les différentielles indiquées cidessus par dx et dy représentent toujours des quantités de même nature que les quantités représentées par les variables x et y. Ainsi dans la géométrie, lorsque x représente une ligne, une aire, un volume, la différentielle dx représente ellemême une ligne , une aire ou un volume. Les différentielle* sont des quantités censées plus petites que toute grandeur donnée ; mais cette hypothèse n'altère point la nature de ces quantités : dx et dy sont toujours homogènes avec x et y , c'est-à-dire présentent toujours le même nombre de dimensions de l'unité au moyen de laquelle les valeurs de ces variables sont exprimées,

II. MFrfREHTUTION DBS FOHCT10M8 SIMPLES d'uKB SEULS VARIABLE.