L'équation de la parabole
y1 = $px
j dfi dp d%y dp
donne -^ = -^~, — ^ = i£- ; et en substituant dans
l'expression de p du n° 480, il vient
(p + fcr)*
Les mêmes valeurs étant substituées dans les expressions de s et 6 du même numéro donnent
et en éliminant x entre ces deux expressions, on trouve pour Féquation de la développée de la parabole
Cette courbe est formée de deux parties égales placées symétriquement par rapport à Taxe des x. Le rayon de courbote Oyi qui appartient au sommet de la parabole est égal à p. La développée touche Taxe des x au point \l.
191. A l'égard de la cycloïde, dont on s'est occupé dans lenû 17*5, on a trouvé
î-Vf=;. d«g=.
y' dx Jl
VF
et en mettant ces valeurs dans l'expression de p du n° 180, il vient
d'où Ton conclut, en rapprochant ce résultat des formules données n* 178, que le rayon de courbure est toujours double de la normale.
En substituant également les valeurs précédentes dans les expressions de a et 6 du n° 180, on aura
* = * + 2\/2Ity— y*, * =— ^
It est visible, soit par ces expressions, soit par celle du rayon de rourbure p, que le centre de courbure du sommet n de la cycloïde (fig. 36) est en v, en prenant la distance /zv = aiî. Pour obtenir l'équation de la développée sous l.i lui me la plus simple, nous la rapporterons à deux nouvelles coordonnées a' et 6' parallèles aux premières, et qui sont comptées à partir du point v, dans le sens v6 et dans le sens va. Nous écrirons donc
ce qui changera les équations précédentes en
* '^4i — x— ?v/2Ry— y\ y = 2R — 6'}
d'où {'on tire, en ayant égard h l'expression de # en y du
QM78,
* = *(<*— arc cos. ^*J— <ft*y — tf; ou enfin en mettant pour y sa valeur en ff ,
a' = Rare ces. -^-= y/W— 6*
• ii
Ainsi la développée de la cycloïde est une autre cycloïde égale à la première.
Cette proposition résulte d'ailleurs immédiatement de la valeur obtenue ci-dessus pour le rayon de courbure. Car le centre de courbure devant se trouver pour le point m de la cycloïde sur le prolongement de la normale, à uije distance rp=rm, il s'ensuit que Tare •> du cercle de rayon R, dont le centre efct d, est égal à l'arc rro du cercle du même rayon dont le centre est c. Mais l'arc rro est égal à l'intervalle Or • donc l'arc $\>. est égal à l'intervalle Vf.
Remarquons de plus que le rayon de courbure est nul au point 0 de la cycloïde Omit. Donc l'arc Op. de la développée est égal au rayon de courbure m\i. Ainsi la longueur totale de la demi-cycloïde Ojxv est 4R ; et en général si Ton plaçait au sommet de la courbe l'origine des coordonnées x,y, et si Ton comptait les axes du même point, on aurait
j = 2^2Ry.
Cette propriété remarquable de la cycloïde, qui consiste à se reproduire par le développement, est liée à la proposition suivante plus générale, et due à Jean Ber-
noulli. Si, considérant une courbe quelconque dont les extrémités touchent deux côtés d'un rectangle, on en forme la développée, puis la développée de celle-ci, et ainsi de suite à l'infini, les courbes obtenues de cette manière approcheront progressivement de se confondre avec une demî-cycloïde.
