f cos. w
équation qu'il est facile de déduire immédiatement des propriétés connues de la parabole.
197. Soit e l'excentricité de l'ellipse et de l'hyperbole, c'està-dire le rapport entre la distance du centre au foyer et le demi -grand axe ou axe réel. On aura donc (w=v/«,-*! pour l'ellipse et ae= \/a* +^ pour l'hyperbole. En plaçant dans l'ellipse l'origine au foyer situé du côté des x positives, et dans l'hyberbole au foyer situé du côté des x négatives, l'abscisse comptée à partir du centre sera x-\-ae <Jans la première courbe, et x — ae dans la seconde. Leurs équations deviendront respectivement
{x + ae)1 t y* t ^ (x — ae)* y1
. + £ i et &—*#
aV-i)
et en substituant pour x et y les expressions du n° 192 , on aura en cordonnées polaires pour l'ellipse
1 + e cos. co '
et poqr l'hyperbole
l + e cos. co '
ou r =
afr1— 1)
t?COS.u>— 1
suivant que l'on considérera la branche de la courbe la plus voisine ou la plus éloignée du foyer pris pour origine. Ces dernières équations se déduisent également des propriétés connues des deux courbes dont il s'agit.
iW. Nous rechercherons maintenant les expressions différentielles générales qui appartiennent à la direction de la tangente d'une courbe, à son aire, et à la longueur de l'arc, lorsqu'on emploie les coordonnées polaires.
Soit en général
l'équation d'une courbe proposée. Si Ton demande la direction de h courbe au point dont w et r sont les coordonnées , on remarquera que la droite formant l'angle x avec Taxe à partir duquel l'angle u> est compté , dont l'équation
.siikfo/— t)
v=ir - -
8in.(<*> — t)
a été donnée n* 193 , serç tangente à la courbe au point dont il s'agit (conformément aux principes exposés article XVI) , si
la râleur de -r- déduite de l'équation de la droite est égale en
ce point à la valeur du même coefficient différentiel déduite de l équation de la courbe. Or, en différentiant l'expression précédente de r, on trouve
dr , sIil(w'— • t) cos.(to — t) <fc>~~ sin.*(<» — t)
oo
j^ = — rcotfw — t);
done l'angle t formé par la courbe avec Taxe à partir duquel
on compte l'angle u> est déterminé en général par l'équation
COt(T-to):=i *L
dr
— représentant le coefficient différentiel du premier ordre de
la fonction r=f(«>). Il est superflu de remarquer d'ailleurs que x — a) est l'angle compris entre la tangente de la courbe et le rayon vecteur.
Le même résultat peut être facilement obtenu par la géométrie. Car soient m, n (fig. 37) les deux points de la courbe correspondants aux valeurs w et ta+rfto de l'inclinaison du rayon vecteur. L'arc mq décrit au point 0 avec le rayon Om=r aura pour longueur rcfo, et nq représentera dr. Mais à la limite nous regardons mq comme une ligne droite perpendiculaire à Om , et la courbe comme coïncidant avec la tangente dans l'intervalle fnn. Remarquant de plus que l'angle nmq est le complément de l'angle x — u>, on aura comme ci-dessus
v ' rd<*
Si l'on nomme * l'angle formé par la normale menée à la courbe au point m avec l'axe des x> on aura donc d'après la formule précédente
tang.(<i— u)) = -
rdv dr'
9 — c*> étant l'angle formé par la normale et le rayon vecteur. 199. L'aire de la courbe, lorsque l'on emploie des coordonnées polaires, est l'espace triangulaire compris entre cette courbe, un rayon vecteur fixe (par exemple le rayon Qa (fig 37 qui coïncide avec Taxe), et le rayon vecteur mobile Om. Nous
— aott —
désignerons cette aire par u. Lorsque » augmente de dut, u croit du triangle Omit, dont l'aire, en regardant encore mn comme une ligne droite, est
Nous aurons donc en négligeant (comme on doit le faire en passant à la limite) les quantités infiniment petites du second
ordre
du~-rdo>.
200. Quant à la différentielle de Tare de la courbe, que nous continuons à représenter par s, elle est évidemment exprimée, puisque l'élément mn (fig. 37) peut être regardé à la limite comme l'hypoténuse du triangle rectangle mnq , dent les côtés sont rrfw et dr, par
^V^+fë)'
Noos supposons que Tare s augmentera en même temps que l'angle «.
901. Si Ton veut enfin connaître l'expression générale du rayon de courbure en coordonnées polaires, on emploiera la formule du n° 181 ,
ds ' = »'
En observant que de l'équation du m 198
* s % * dr
x ' r du'
on déduit par la différentiation
<*t— dm
s . (i dr\ rft t ■ „ x é/iir\
8in.*(
Mais cette même équation donne sin.'ft— cu) =
Donc
•+oï)
,+(«*:y- tp-'A
<h \r dto/ d<a\r du/
dû" â t /i dry
i + \rdZ)
D'ailleurs nous avons trouvé ci-dessus
Donc
ou si Pop veut
(dry r*r'
La direction de la normale étant connue d'après le n° 198, cette expression du rayon de courbure suffit pour déterminer la position du Centre du cercle oscillateur. Le radical
I r2+ (-i-j ' peut être affecté du aigne+ ou du signe— . Si
Ton convient de prendre le signe -f- il s'ensuivra que le. rayon de courbure sera regardé comme positif lorsque les différée-
Mes âtttds seront de même signe, et comme négfttif tonqu'elles seront de signe contraire. Nous supposons ici qhe l'arc i augmente dans le même sens qtife l'angle «. Ainsi le rayon de courbure est censé positif lorsque la concavité de là courbe est tournée du côté de l'origine ou pôle dont émane le rayon vecteur et négatif dans le cas contraire.
Courbes nommées spirales.
S0£ Les géomètres ont donné le nom de spirales à diverses courbes dont la nature et les propriétés s'expriment d'une manière plus simple au moyen des coordonnées polaires.
La spirale <SArch\mède a pour équation
a déâgnant une constante positive* La courbe commence i l'origine ou pôle, et forme une infinité de révolutions autour «le ce point , dont elle s'éloigne de plus en plus* -
303. Dans la spirale hyperbolique , ainsi nommée à raison de l'analogie de son équation
ta)
a désignant toujours une constante positive) avec celle de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, la courbe prend son origine à une distance infinie du pôle, où elle touche une droite parallèle à l'axe des x dont l'équation est y=a (puisque l'équation précédente peut s'écrire y=a , et donne
9=a lorsque <n = 0). Elle forme une infinité de révolutions autour du pôle , dont elle s'approche progressivement, mais
sans l'atteindre, puisque l'on n'a r = 0 qu'en attribuant à l'angle w une valeur infinie.
204, La spirale logarithmique, courbe très-remarquable dont les propriétés ont été étudiées par Jacques Bernoulli, a pour équation
t» = log.r, ou r = «w, ou enfin r = ^'w, |
a désignant la base du système de logarithmes, que nous ! supposons plus grande que l'unité. La valeur OÀ de r qui correspond à u> = 0 est égale à l'unité. Lorsque w croît positivement ai partir de zéro, r augmente de plus en plus : ainsi la courbe à partir du point A forme autour du pôle une infinité de révolutions en s'éloignant progressivement de ce point. Lorsque u> croît négativement à partir de zéro, r diminue de plus en plus : la courbe foftne également à partir , du point A, et en s'approchant progressivement du point 0. sans l'atteindre, une infinité de révolutions. De l'équation
on déduit
aw av*
La formule du n° 198, tang. /<r — w) = -- , donne donc
A ' rota
ici pour déterminer l'angle compris entre la normale et le
rayon vecteur
tang. (a — o>) = — la.
Ainsi cet angle a une valeur constante.
L'expression da rayon de courbure n* 204 ,
. -N'ai
devient ici
Dodc(jl étant (fig. 38) le centre de courbure correspondant au point m de la spirale logarithmique, la ligne Op est perpendiculaire sur le rayon vecteur Om. Le rayon vecteur et le rayon de courbure conservent un rapport constant.
Soient û et R les coordonnées polaires du centre de courhure |a. On aura donc, d'après ce qui précède,
Q = <u+^, R= VPB — r*=La.r\
et en substituant les valeurs de u> et r tirées de ces équations dans l'équation r=etew de la courbe, il viendra
.-il/*-*»-
ou ce qui revient au même,
pour l'équation polaire de la développée. Donc la développée de h spirale logarithmique est cette même courbe qui a
tourné autour du pôle d'un angle égal à - j— . Il suffit
1" ANKÉE. H
d'ailleurs , pour reconnaître que La développée est une spirale logarithmique, de remarquer que sa tangente, qui n'est autre chose que le rayon ^m, forme un angle constant avec son rayon vecteur Op.,
