XX. POtHTS SINGULIERS DES COURBES FLaKES
205. Les notions qui ont été exposées dans les article- El et suivants, et qui se rapportent à la détermination des génies des courbes, de leurs cercles oscillateurs, ou en général des courbes osculatrioes, sont fondées sur l'emploi du théorème de Taylor, et supposent en général que les coefficients différentiels de la fonction qui exprime la valeur «te I ordonnée au moyen de l'abscisse prennent, pour le point de la courbe que Ton considère, des valeurs Unies et déterminées. Il est donc nécessaire, conformément à ce qu'm a vu dans l'article X > que la figure de la courbe soit cou tin ne près de ces points; et de plus il ne faut pas que t fonction dont il s'agit se trouve, pour la valeur de Tabscii qui li-ur appartient, dans les cas d'exception qui ont remarques dans ce même article. Lorsqu'il en est autre ment, la figure des courbes est en général affectée d'm manière particulier^ et présente ce (mon nomme un singulier.
Dans la plupart des cas, l'existence des points singulier* tient a ce que la courbe a deux ou plusieurs branches qui réunissent dans les points dont il s'Agit. Néanmoins courbe* qui ont un cours unique, ou qui sont partagées plusieurs branchies distinctes qui ne se croisent point, pie sentent quelquefois des points remarquables que l'on généralement compris sous la dénomination de points si g u liers.
Concevons que Von ait formé les coefficients différentiels
fo'd**' 7^' e^°'9 ^e ^or^onn^e y de 1* courbe exprimée
en fonction de l'abscisse x.
dy
Si le premier coefficient différentiel -2- devient nul pour
une valeur x = a de l'abscisse, les autres coefficients conservant des valeurs finies, la tangente de la courbe au point correspondant est parallèle à Taxe des x; et l'ordonnée, conformément à ce qu'on a vu dans l'article XIV, est un maximum
ou un minimum.
Si le coefficient différentiel -~ devient seul nul, tous les
dx*
autres conservant des valeurs finies, le rayon de courbure
est infini, et le sens de la courbure change. Il y a un point
(finflexion.
d*y Si le coefficient différentiel du troisième ordre -r-j devenait
seul nul, cela indiquerait que j^ est un maximum ou un
minimum : mais cette circonstance ne peut en général se remarquer sur la figure delà courbe.
Si les deux premiers coefficients différentiels t- et j~
étaient nuls en même temps, on se trouverait dans le cas remarqué à la fin du n° 1 45, c'est-à-dire qu'il y aurait un point d'inflexion dans lequel la tangente de la courbe serait parallèle à l'axe des x.
206. Outre les cas où quelques-uns des coefficients différentiels prennent des valeurs nulles, on doit considérer ceux oii ils prennent des valeurs infinies.
dy
Si le coefficient différentiel du premier ordre — prend
une valeur in li nie, la tangente de la courbe est parallèle à l'axe des y. Cela peut arriver dans quatre cas : en un point L \fig. 39) formant dans le sens de x la limite de l'espace occupé par lit courbe; en M lorsque l'ordonnée est infinie et que la courbe a pour asymptote une ligne parallèle à l'axe des y,- en N lorsqu'il y a un point d'inflexion; et enfin en 0 dans un point de rebrowsement*
Si le coefficient différentiel du second ordre devenait infini , celui du premier ordre ne l'étant pas, il en résulterait que la valeur du rayon de courbure serait nulle*
3G7. Considérons maintenant les cas où les courbes offrent plusieurs branches dont la réunion ou le croisement donne lieu à des points singuliers. Les cas dont il s'agit ont une liaison intime avec ceux qui ont été remarqués nf 90 h 931 Kn effet, une courbe ne peut avoir plusieurs branches qu'autant que la fonction f=f{x) qui représente t ordonnée contient explicitement ou implicitement des radicaux pairs auxquels on doit attribuer un double .signe. En général ;i chaque valeur de x répondent plusieurs valeurs de y, et autant de valeurs de chacun des coefficients différentiels qui appartiennent respectivement aux différentes branches de la courbe. Mais si la valeur particulière x = a fait disparaître un radical dans f(x) , et réduit par là les valeurs de y à un moindre nombre 7 deux ou plusieurs branches de la court* se réunissent dans le point correspondant ? qui dewque Ton nomme un point multiple* On a vu dailleui aux numéros cités qui! fallait ici distinguer deux cas.
1" Lorsque le radical disparaît dans f(x} pour la valeur x = a parce que cette valeur rend nul ce radical même» le développement de f {a + h) contient alors des puissances frac tionnaires de A, et par conséquent les coefficients différentiels doivent devenir infinis à partir d'un certain ordre*
* Lorsque le radical disparait dans f(x) parce que la valeur x=a rend nul un certain facteur {x — a)m à exposant entier positif dont ce radical est affecté, mais reparaît dans les coefficients différentiels après un certain nombre de difféirotiatkms, la formule de Taylor subsiste. Il n'en serait pas de même si l'exposant m était fractionnaire : on rentrerait alors dans le cas précédent et on trouverait, à partir d'un certain ordre, des valeurs infinies pour les coefficients différentiels.
On voit, d'après ce qui précède, qu'un point multiple peut être indiqué par les valeurs infinies que prendraient les coefficients différentiels du premier ordre et des ordres supérieurs. Mais cette indication n'est pas certaine, puisque la même chose peut avoir lieu dans un point d'inflexion où la tangente de la courbe serait parallèle à l'axe des y.
On voit encore qu'en un point multiple les coefficients différentiels peuvent conserver des valeurs finies, et les premiers d'entre eux offrir, par exemple, des valeurs nulles. Cette circonstance peut également avoir lieu pour un point d'inflexion où la tangente de la courbe serait parallèle à l'axe des x. Mais si les premiers coefficients différentiels réduits à zéro sont suivis d'autres coefficients différentiels affectés de radicaux, et si d'ailleurs f(x) est réelle près de x = a, on est bien assuré que le point dont il s'agit est formé par la réunion de plusieurs branches de la courbe qui ont entre elles un contact dont l'ordre est marqué par le nombre des coefficients différentiels qui reçoivent la valeur commune zéro.
En général, pour juger exactement de la nature d'un point singulier, il faut discuter, par le développement de f(a±:h) en série ou par un autre moyen quelconque , le cours de la courbe près de ce point.
Ht* Le cas le plus simple auquel s'appliquent les considération:» précédantes es* celui du point M {fig. 40) qui forme la limite d'une courbe dans le sens des x. On doit considérer les deux parties Mm, Mm' comme deux branches distinctes (soit qu'elles sVlendent à l'infini, ou qu'elles se rejoignent pour former une courbe fermée) , qui se réunissent eu M. Les coefficients diilérentiels du premier ordre et des ordres supérieurs sont infinis pour la valeur de l'abscisse qui répond a un tel point. La même chose a lieu lorsque la limite de la courbe est formée par un point de rebroussement N.
Remarquons que le point N, où les deux branches delà courir sont du même crité de la tangente commune, est uu point il- rebrousseraient de la seconde espèce; et que le point 0 de la figure du n° 2(H>, où les deux branches de la courbe sont placées de part et d'autre de la tangente commune, est un point de rcbroussemeni de la première espèce. Le cas où ti>ti> 1rs nirtiieieiiis différentiels deviennent infinis peut répondre d'ailleurs à divers points multiples 0, P, dans lesquels se réunissent deux ou plusieurs branches de courbe qui touchent ( en se croisant ou non ) une môme ligne parallèle à Taxe des y.
2UI*. A l'égard des cas où les premiers coefficients différentiels di viennent nuls , tandis que les coefficients différentiels suivants conservenl des valeurs finies affectées de radicaux, ils donnent lieu à des points multiples analogues aux pointe « ' et F, mais dans lesquels la tangente de la courbe est parallèle à l'axe des x\
Mats sï la première ditterentiation a suffi pour faire disparaître le facteur dont le radical était affecté dans la fonction el qui devenait 11Ljl pour bi valeur particulière j? = a, en
sorte que te radical se retrouvant dans -p , ce coefficient différentiel présente plusieurs valeurs finies distinctes , on aura alors rm point multiple Q dans lequel les branches de la courbe se croiseront sans se toucher. Et si dans un tel point
une des valeurs de ~ se trouvait nulle, -r-r restant finie, dx% Ar8
il y aurait inflexion dans une des branches de la courbe.
210. Nous terminerons enfin en observant que Ton a nommé points isolés ou conjugués certains points dont les coordonnées satisfont à l'équation proposée entre x et y, mais qui sont entièrement séparés de la ligne que cette équation représente. Il existera, par exemple, un point conjugué correspondant à la valeur x = a si cette valeur fait disparaître dans la fonction y=f(x) un radical tel, que la valeur f(a) soit réelle., et les valeurs voisines f(a±h)
imaginaires. Exemple: y=[x — a)m<J{x — a)* — 6*.
