XXI. PLANS TANGENTS ET NORMALES AUX SURFACES COURBES

211. Nous récapitulerons ici succinctement les formulas les plus élémentaires de la géométrie à trois dimensions.

La direction d'une ligne droite passant par l'origine des coordonnées est fixée par les trois angles a, 6, y formés par cette ligne avec les parties des axes sur lesquels on compte les coordonnées positives x, y, x. Les cosinus de ces angles sont évidemment entre eux dans les mêmes rapports que les coordonnées x$ y, z et l'on a les relations

x cos.q y ""cos.6*

x CQg.q z ~~ cos. y 1

y cos.6 z""cos.y'

dont deux quelconques entraînent la troisième. De plus les coordonnées du point de la ligne située à la distance \ de l'origine étant respectivement cos. a, cos. 6, cos. y * il en résulte

COS.* a + COS.* 6 -f COS.* f = 1.

D'après cela

m = az,

y = bz

étant les équations des projections de la droite sur les plans des xz et des yz, on a

COS.a

* cos. y '

cos.6

cos. y'

d'où cos.« = -

, COS. 6

COS.y =

Vr«,+61+i

On peut donner à volonté dans ces formules au radical le signe + ou le signe — , pourvu qu'on lui donne dans toutes trois le même signe. Suivant le signe donné à ce radical, les angles a, 6 et f appartiendront à Tune ou à l'autre des parties de la ligne qui sont séparées par l'origine des coordonnées. Si on le prend positivement, ces angles se rapporteront toujours à la partie de la ligne qui est située du côté des z positives , ou qui forme un angle aigu avec la partie positive de Taxe des x.