L'équation générale d'un plan est

z = fx + gy + h ,

x, y étant deux variables indépendantes et z une fonction de ces variables. Soit un point quelconque de l'espace dont les coordonnées sont x> y, z ,• et concevons que de ce point Ton ait mené une droite à l'un quelconque des points du plan ri ont nous désignerons les coordonnées par x', t/, tf. La distance de ces points est exprimée par

'■ ', y' et z' satisfaisant à l'équation

z'=zfx' + gy,+h.

Or la droite dont il s'agit sera perpendiculaire au plan si l'expression précédente (dans laquelle il faut considérer z comme une fonction des deux variables indépendantes x et y') est un minimum. Pour connaître la direction de la perpendiculaire au plan, on égalera donc séparément à zéro, conformément à ce qu'on a vu dans les numéros 147 et suivants, les différentielles de pette expression prises par rapport

— il» —

a r' et à y, ce qui donnera

équations qui appartiennent à la perpendiculaire cherchée et

dz dz qui en déterminent la direction. En y mettant pour —, et —

leurs valeurs tirées de l'équation du plan , elles deviennent

On en conclut que les angles formés par la perpendiculaire au plan proposé avec les axes des x, des y et des z, étant représentés par X, (i, v, on a

cos.X=— ~' cos.ti= ~^ . cos.v = , =..

Les angles formés par le plan proposé avec les plans des ys, des xz et des xy ne diffèrent point d'ailleurs des angles

215. De plus, l'angle compris entre deux plans est égal à l'angle compris entre deux droites perpendiculaires à ces plans: ainsi, appelant <p l'angle compris entre les plans dont les équations sont respectivement

z = fx + gy + U

z=f'x + g'y + h' on a

COS

Vf1 + *• + *• v/" + 0* + i La condition nécessaire pour que les deux plans représentés

par les équations précédentes soient perpendiculaires l'un à l'autre, est donc exprimée par l'équation