Si l'équation du plan est donnée sous la forme

on aura pour les équations de la normale

z — z,= j-(x—x')f z— ï= jj(y— y');

et les cosinus des angles formés par la normale avec les axes des x, des y et des x , ou des angles formés par le plan proposé avec les plans des yzy des xz et des xy, seront respectivement

cos.X=

--==, COS.|A=-p , C0S.v=-7z

v'l'Tm'+n* v^'+m'+n* y'tf+M'+y

217. Considérons maintenant une surface quelconque dont l'équation est représentée en général par

xy y désignant toujours deux variables indépendantes, et proposons-nous de déterminer le plan tangent et la normale menée au point de cette surface , dont x'9 y'> z' désignent les coordonnées. On pourrait d'abord connaître la direction de la normale par la même considération qui a été employée n° 213 f car il est évident que la plus courte distance d'un point quelconque de la normale à la surface est dirigée suivant cette ligne elle-même. On trouverait donc, comme dans le

numéro cité, pour les équations de la normale ,

dx' izf

j-,, -r, représentant les coefficients différentiels partiels de

la fonction*' déduits de l'équation *'= /*(#', y'), à laquelle doivent satisfaire les coordonnées du point de la surface que ton considère. Mais il convient mieux ici de déterminer le plan tangent d'après des notions semblables à celles qui ont été présentées dans l'article XVI.

L'n plan est tangent à une surface lorsque aucun autre plan ne peut passer entre la surface et le plan dont il s'agit, x', y' étant les abscisses d'un point quelconque de la surface proposée, les ordonnées des points voisins seront exprimées en général d'après ce qu'on a vu n° 138, par

De même , l'équation d'un plan quelconque passant par le point dont les coordonnées sont x'y y', z' étant

les ordonnées des points voisins de celui-ci sont représentées par

U différence entre les ordonnées de la surface et celles du plan est donc

(** Ai.,/^ \ • , #*' ** L **' ^ d%z' * ^ *♦«

-Mi- Mais si nous supposons les coefficients f9 § de l'équation du plan déterminé par la condition de faire disparaître les lermes du premier ordre, c'est-à-dire si nous posons

dz' 9 = 9*

cette différence se réduirai

dH> h* , rfV u. , d*z* P ,

et Ton reconnaîtra, par le même raisonnement qui a été lait h4 460, qu'en attribuant à h et i des valeurs de plus tu plus petites, on pourra toujours la rendre moindre que pour tout autre plan à l'égard duquel on n*aurait point satisfait à la condition précédente.

L équation d'un plan tangent à la surface proposée au point dont les coordonnées sont x'y \f, x! est donc, d'après ce qui précède,

, dz' . ,, , dz' ,

et Ton en déduit immédiatement pour les équations de la normale, conformément au n° 213,

2/-y'+ày-,(2-*')=o.

f-^-Ti représentent les valeurs des coefficients différentiels

partiels réduits à l'équation z = f(x, y) qui appartiennent au point de contact.

Ainsi, en représentant par X, (x, v, les angles formés par

— naît norrotle avec les axes des z, des y et des s , on a

te (&