Différencier une fonction, que nous désignons toujours
par
c'est chercher l'expression de sa différentielle dy, ou de la variation infiniment petite que subira y lorsque la variable in-* dépendante x croîtra de sa différentielle dx. D'après ce qui a été dit dans l'article précédent, cette recherche se réduit à considérer te rapport
Ay= f{x+bx) — f[x) tkX A*c f
et à déterminer la limite -rj-, dont la valeur de ce rapport
s'approche indéfiniment à mesure que bx approche de devenir égale à zéro. On aura en effet pour la différentielle cherchée
ax
Or il existe dans l'analyse un petit nombre de fonctions simples ou élémentaires pour lesquelles l'expression de la limite dont il s'agit exige une recherche spéciale. Quand on l'aura effectuée pour ces fonctions , une fonction quelconque, qui sera toujours composée des premières, ne présentera plus de difficultés.
13. Ces fonctions simples sont : l°la fonction xm7 c'est-àdire la variable élevée à une puissance marquée par l'exposant m, lequel peut être un nombre constant quelconque, entier ou fractionnaire, positif ou négatif.
2° La fonction logarithmique , ou log.a?. On sait que l'on entend par \og.x l'exposant de la puissance à laquelle on doit élever un certain nombre constant, appelé la base du système , pour obtenir le nombre x ; en sorte que a désignant cette base , on a af0*a = x. Par conséquent , en donnant la fonction log.j? , il faut toujours donner la base a du système auquel appartient le logarithme.
3° La fonction exponentielle a*, dans laquelle la variable est l'exposant de la puissance à laquelle un nombre constant doit être élevé.
A° Les fonctions trigonométriques sin.a? et cos.ar, dans lesquelles x désigne un arc quelconque compté d'une origine fixe sur la circonférence d'un cercle dont le rayon est égal à l'unité.
Nous allons considérer successivement ces diverses fonctions.
!• Fonction y = acP , in désignant one constante.
44. Le cas le plus simple est celui où l'exposant m est un nombre entier positif. Il est très-facile alors de trouver la différentielle de la fonction y. La formule générale , rappelée n° 42, donne
Ay __(# + Àa?)* — a?*# As ~~ Sx •
ou en développant le terme (x -\- bx)m par la formule du binôme de Newton , qui est démontrée dans les éléments d'algèbre pour le cas de l'exposant m entier et positif,
g= m^'+gy^t. As +^m^m-2is^»(M,+ + (M-"1-
Or, quand Ax tend à devenir nulle, tous les termes du second membre tendent également à devenir nuls, à l'exception du
premier. La limite du rapport -~ , c'est-à-dire le coefficient
différentiel ou la fonction dérivée de xm, est donc
et l'on a par conséquent , pour la différentielle de cette fonction,
15. Cette formule donne également l'expression de la différentielle demandée, quelle que soit 4a constante m. Pour le
démontrer, observons que Ton a (x+ ±x)m = ( \ + — ) • *m, d'où il suit que la quantité — peut être mise sous la forme
Ad? àx
Soit fait pour abréger — = ot. On \*oit qu'il s'agit de trouver
la limite dont s'approche indéfiniment le rapport ^— ^
lorsque la quantité a tend à devenir égale à zéro. Or, a étant supposée infiniment petite , on peut écrire évidemment
6 étant également une quantité infiniment petite qui deviendrait nulle en même temps que a. L'expression précédente de
£~ devient alors
Lx a
en sorte que tout se réduit à trouver la limite du rapport — 16. Pour y parvenir, considérons l'expression
et proposons-nous de trouver la limite vers laquelle tend sa valeur lorsque a tend à devenir égale à zéro; a étant regardée comme pouvant prendre une valeur quelconque , pourvu qu'elle soit plus petite que toute grandeur donnée , on peut
écrire « = - , en désignant par i un nombre entier plus grand
que tout nombre donné. L'expression dont il s'agit devient alors
et en la développant par la règle du binôme , on a
on, ce qui est la même chose ,
Mais quand on suppose que t augmente indéfiniment, les numérateurs de chacun des termes de ce développement tendent tous à devenir égaux à l'unité. D'où l'on conclut que la Hmite dont s'approche indéfiniment l'expression proposée
{i -f «)", lorsque * tend à devenir nulle, est exprimée par
etc.
h série
i+i+| + e+£è4+ïrô + etc-
— *6 — Cette série est évidemment convergente, c'est-à-dire qu'en prenant un nombre de termes de plus en plus grand , les résultats approcheront continuellement d'un certain nombre irrationnel qui ne sera pas dépassé. En effet , tous les termes étant positifs , leur somme augmente progressivement à mesure que l'on en prend un plus grand nombre, et l'on distingue facilement deux limites entre lesquelles cette somme est comprise. Sa valeur est plus grande que 2, et plus petite que 2 augmenté de la progression géométrique
ô + T+ô + ig + etc. La somme de cette dernière progression étant égale à l'unité quand on la suppose prolongée à l'infini , on voit que la valeur de la série est comprise entre
2 et 3. Le calcul en est facile, et en se bornant à six décimales on trouve
i+i+ 1 + ^ + 5^ + etc. =2,718282.
Ce nombre étant d'un grand usage dans l'analyse , les géomètres le représentent par la lettre e.
Il résulte donc de ce qui précède que l'expression (i + Œ)a a pour limite , lorsque a tend à devenir égale à zéro, un certain nombre représenté par e , dont l'expression est
e=1+1+ ï + o + m + etc- = *'mmt
et l'on peut remarquer que cette proposition subsiste également lorsque a est négative. Car on peut écrire
t désignant une quantité infiniment petite qui devient nulle en même temps que a ; d'où l'on tire
(i-«f tt = (i+e)'(i+s):
b limite du second membre étant le nombre e, ce nombre est également la limite du premier membre.
