AC08.T

Mais on a généralement cos.u>=:cos.* i« — siq.'iw, d'où 1— cos.w = 2sin.,£to. Donc

2sin.tu,)«=5— 2cos.ot(cos.«+Aco8.fl}— 2cWL«(co*.6+Aeas.«)

— 2cos.f (cos-t + A cos. y).

Vf on peut mettre à la place du nombre 2 la quantité

00*'*+ C08.,6+ COS.*Y+ (COS.* + AcOS.a)»+ (COS.6 + Ac<*6)!

+ (008.7 + Aeo*ir#;

réduisant ensuite , et remarquant qu£, quand l'ample w est supposé infiniment petit (2 sio. i w )* = «* , on retrouve { en

remplaçant le signe A par le signe d) la formule précédente. Cette formule exprime généralement l'angle infiniment petit compris entre les deux positions infiniment voisines d'une ligne dont les angles avec les axes sont exprimés par «, 6, y. 239. Les résultats précédents se rapportent à la première courbure de la courbe proposée, qui a lieu dans le sens du plan oscillateur. Remarquons, maintenant, que deux plans osculateurs consécutifs comprennent entre eux un angle infiniment petit, qui donne la mesure de la seconde courbure de cette courbe. Soit û cet angle, et rappelons-nous que l'équation du plan osculateur, telle qu'elle est écrite dans le n* 236 , étant

les cosinus des angles formés par la normale à ce plan avec les axes des x, des y et des z sont représentés respectivement, d'après le n° 216, par

v^y^z*' v/xt+Y,+zt, y/xï+Yrpzï'

L'angle û de deux plans oscillateurs consécutifs étant égal à l'angle des deux normales à ces plans, nous aurons donc, d'après ce qu'on a vu dans le numéro précédent,

V \ i/v+v+z*} \ vx'+r+zv V fi?

ou en développant, et' ayant égard aux réductions qui s'opèrent,

y^-f Y*+Z«) (<ÛL*+dV+ dp) - (XrfX-h YrfY+ ZrfZ)» Xï+Yî+Z? '

— Uo— }

od Ken encore

Q y (XrfY — YrfXy + (ZrfX — X<tt)»+ (YdZ — ZrfY)'

.Mais on trouve facilement

dX =dfd*z—dzdPy , dY=d2d*x—dxd*z , rfZ = dxd?y—dyd?x ;

puis

XtfY— YdX ZdX—XdZ __ YrfZ— ZrfY

<k """ rfy """ dx ~"

dXfixffiy—dPy&x) +dy(d*zd>x—(Pxd*z) +dx(<Pyd>z—d*zd*y) ;

et par conséquent

Q-faW<Px&y--d*yd}x) + dy((Pzd?x—dtx<Pz)+dx((Py(Pz--d?z(Py (dxdïy^ydïxF+idzdïx—dxdtzFMdy&z—dzdïy)* *

Si l'on désigne par P le rapport de l'élément d$ de Tare de la courbe à l'angle û compris entre les deux plans osculateurs qui répondent aux points placés aux extrémités de cet élément , rapport que l'on nomme quelquefois le rayon

de la seconde courbure, ou si l'on pose — =Q, on aura donc

p [dxd*y^y(Px)*Mdz<Px--dxd*z)*+(dydtz—dzd*y)* ~~ dzlfixdïy—dïydPx) + dy((Pz<Px—(Px(Pz) + dx(<Py <Pz— dlz<Py ) '

La valeur du rayon de la seconde courbure dépend des différentielles du troisième ordre des coordonnées x, y, x, tandis que celle du rayon de la première courbure dépend seulement des différentielles du second ordre.

240. Si l'on a pour tous les points d'une ligne quelconque l'équation

(dxd*y — dydPx)* + (dzd}x — dxdïz)* + {dy <Pz — dztfy? = 0 ,

ou (ce qui revient au même) l'équation

(*•)■+ (<fy)*+ (#*)*- (*$)* = 0 ,

il en résultera , d'après les n°* 236 et 237 , que le rayon p de la première courbure sera infini, ou que deux éléments consécutifs de là ligne comprendront toujours entre eux un angle nul , c'est-à-dire seront placés dans le proloogement l'un de l'autre. L'une et l'autre des équations précédentes expriment donc d'une manière générale la condition analytique à laquelle doivent satisfaire les valeurs des coordonnées x,y,%, pour qu'elles puissent appartenir à une ligne droite.

24i. Si l'on a pour tous les points d'une ligne l'équation

dz(dfoDdh)--<Pyd*w) + dy{d*zd?x—d*xd*z) + dx(<Pyd*z— <Pz<Py)=*

il en résultera, d'après le n° 239, que le rayon P de la seconde courbure est infini, ou que deux plans oscillateurs consécutifs comprennent entre eux un angle nul, c'est-à-dire coïncident l'un avec l'autre. Cette équation exprime donc, eh général, la condition analytique à laquelle doivent satisfaire les valeurs des coordonnées x} y, :, pour qu'elles puissent appartenir à une courbe plane.

Développées.

Ut D'après les n" 234 et 235, si Ton veut qu'une sphère ait uo contact du second ordre avec une courbe proposée dans le point dont les coordonnées sont x,y, z, il faudra que les coordonnées a, 6, «f, du centre de la sphère, et son rayon p, satisfassent aux trois équations

(a x)*+(6 y)i+(T*). = pi

<fcr(o^-x)+dy(6— y)+<k(T z)= 0

ds* — d»a<a— x}— d»y(6— y)— <Pz(i — z) = 0.

La détermination d'une sphère dépendant de quatre constantes, tandis que Ton jloit satisfaire à trois équations seulement, il en résulte qu'il existe pour chaque point de la courbe proposée une infinité de sphères osculatrices. Toutes ces sphères ont, comme on l'a vu ci-dessus, leurs centres placés sur une ligne droite, qui est l'intersection des deux plans normaux consécutifs menés à la courbe proposée dans les deux points dont les coordonnées sont x, y,*, et x + dx, y-\-dy, z + dz. Cette ligne droite est nécessairement perpendiculaire à la tangente menée à la courbe au point dont les coordonnées sont x, y, z.

On peut se représenter l'ensemble des plans normaux menés à tous les points de la courbe proposée, les lignes droites qui sont les intersections des plans normaux consécutifs, et la surface développable formée par l'ensemble de ces lignes droites. Chaque plan normal touche cette surface dans toute l'étendue de l'arête reotiligne appartenant à ce plan. Cette arête est perpeadicu-

courbe que Ton nomme développante, tandis que la première courbe est nommée développée. Le caractère géométrique de la développée consiste donc seulement dans ces deux circonstances : 4° que chaque point p de la développée est le centre d'un cercle tangent au point correspondant m de la développante ; ,2° que le rayon jim touche la développée au point p..

D'après cela on reconnaît d'abord qu'une développée de la courbe proposée doit nécessairement se trouver sdr la surface développable qui est le lieu des centres des sphères osculatrices. Car soient l,myn9 etc., plusieurs points coa? tigus de la courbe proposée (fig. 42), et X, jjl, v, etc., les points correspondants de la développée. Les points X, pi, v, etc., devant être les centres de cercles tangents à la courbe proposée en l,'myn, etc., devront se trouver respectivement sur les plans normaux menés à la courbe proposée aux points l,m,n, etc. Donc on passe d'un point de la développée à un autre, en passant d'un plan normal au plan normal contigu, c'est-à-dire en s'avançant sur U surface formée par les intersections successives des plan* normaux. Si nous regardons les coordonnées a,6,f non plus comme appartenant à un point quelconque de cette surface* mais à Tune' des développées dont il s'agit, il faudra donc admettre en premier lieu que ces coordonnées» satisfont aux équations

ds1— dxx[oL— x)— d*y(6— y)— ctefr— *) = 0 ;

et de plus qu'elles satisfont à la condition que le rayon mené du point de la développée au point correspondant de la courbe proposée soit tangent à la développée. Cette

dernière condition s'exprimera en posant

ou

et a— x

es p

dy-y—z'

L'one quelconque de ces équations étant réunie aux deux précédentes et aux équations de la courbe proposée, on aura cinq équations, dont on pourra éliminer x, y, z. 11 restera deux équations en a, 6, y, qui appartiendront à la développée. Mais il importe de remarquer que ces deux équations seront des équations différentielles. Ainsi, elles ne déterminent pas une certaine développée. Elles ,expriment d'une manière générale les caractères géométriques qui appartiennent à toutes les développées de la courbe proposée dont la surface développable qui contient les centres des sphères osculatrices est le lieu, et qui sont en nombre infini. Quant à la manière de déterminer en termes finis les équations d'une certaine développée passant par un point que l'on se serait donné arbitrairement sur la surface qui les contient toutes, cette recherche dépend du calcul intégral.

Il est visible, d'ailleurs, qu'en concevant la courbe proposée, et la surface développable lieu des centres des sphères osculatrices , existant dans l'espace, on pourrait facilement tracer sur la surface une développée quelconque de la fourbe. En effet, attachant un fil au point / de la courbe, et maintenant ce fil tendu, on le dirigera de manière qu'il vienne toucher la surface; et il pourra la toucher

en un point quelconque X de la droite appartenant à cette surface, qui est située dans le plan normal à la courbe au point /. On appliquera ensuite le fil sur la surfit? en le maintenant constamment tendu. La ligne obtenue de cette manière sera évidemment la développée. Elle sera une ligne de plue courte distance sur la surface développable; et si Ton développait cette surface, elle deviendrait sur le développement une ligne droite.