Le tracé d'une développée peut encore s'opérer

de la manière suivante : Soient l,m,n, plusieurs

points contigus de la courbe proposée. Ayant mené un premier rayon \l, on fera passer un plan par ce rayon et par l'élément Im de cette eourbe; puis Ton marquera le point (jl où ce plan coupe l'arête rectiligne de la surface développable qui est située dans le plan normal à la courbe proposée au point m. On mènera ensuite le rayon pm , on fera passer un second plan par ce rayon et par l'élément tnn de la courbe, et l'on marquera le point v où ce plan coupe l'arête rectiligne de la surface développable qui est située dans le plan normal à la courbe proposée au point ». En continuant de

la même manière, les points X,p,v, donneront k

courbe cherchée.

Supposons , ensuite , que Ton développe la surface développable. Tous les plans normaux se rabattront les nos sur les autres en tournant sur leurs intersections successives, et par suite de ce rabattement la courbe proposée se trouvera réduite à un seul point, que uoos désignerons par M. En effet, l'arc Im de cette courbe est perpendiculaire au plan normal passant par le point m* donc dans le rabattement du plan normal suivant sur celui -ci, le point m viendra se placer sur le point/.

De même Tare mn de la courbe est perpendiculaire au plan normal passant par le point m : donc dans le rabattement du plan normal suivant sur celui-ci, le point n viendra se placer sur le point m. Et ain$i de suite. Or il est évident par là que tous les rayons X/, \im9 vn, etc., viendront se rabattre les uns sur les autres, et se confondre en une seule ligne droite, puisque tous se coupent, et qu'ils devront tous passer par le point M. Ainsi, toutes les développées possibles de la courbe proposée de* viennent, sur le rabattement dont il s'agit, des lignes droites émanant du point M dans lequel cette courbe s'est concentrée, ce qui s'accorde avec ce qui a été dit dans le numéro précédent.

246. Les centres de la première courbure de la courbe proposée, qui ont été déterminés dans les numéros 236 et suivants, sont nécessairement situés sur la surface dévetoppable lieu des centres des sphères osculatrices. Mais on doit remarquer que cette ligne n'est point généralement une développée de la courbe proposée. Concevons, en effet, trois points consécutifs l,m9n de la courbe proposée, et les trois points correspondants X, p, *> etc., de la courbe lieu des centres de la première courbore, en sorte que R,fnp, nv, etc., sont respectivement les rayons de courbure appartenant aux points /,

», n, etc., de la courbe proposée. Si la ligne Xjav

était une développée de Imn , il faudrait que Tare Xp

fût situé dans le prolongement du rayon mX, Tare pv dans le prolongement du rayon mu, et ainsi de suite; ce qui suppose que le rayon my. viendrait couper le rayon /X prolongé, que le rayon nv viendrait couper le rayon my. prolongé, et ainsi de suite. Or, cela ne pourrait arriver qu'autant que les rayons successifs !X,mp, nv, etc., se-

raient situés deux à deux dans un même plan, ce qui n'est point , puisque chacun de ces rayons est situé dans les plans oscillateurs menés respectivement aux points l, ro, n, etc., de la courbe proposée. Les rayons de courbure ïk> fii(JL. nv, etc., ne peuvent se rencontrer et former par leurs intersections successives une développée , qu'autant que la courbe proposée est plane, cas dans lequel tous les plans osculateurs coïncident avec le plan de la courbe.

La vérité de la remarque précédente deviendra encore plus palpable si l'on considère le rabattement dont il a éfë question dans le n° 245. En effet, chaque rqyon de la première courbure de la courbe proposée est perpendiculaire à l'arête rectiligne correspondante de la surface développable lieu des centres des sphères osculatrîces , et dans le rabattement des plans normaux les uns sur les autres , ce rayon de courbure et cette arête ne cesseront pas de se couper à angles droits. Donc ta rayons tk, pip, nv, etc., de la première courbure de la courbe proposée ne seront autre chose sur le rabattement que les perpendiculaires abaissées du point M sur les intersections successives des plans normaux. Donc ces rayons ne pourraient se confondre en une seule ligne droite (ce qui serait nécessaire pour que les points X, p, y, 4c, appartinssent à une développée)» qu'autant que toutes les intersections seraient parallèles entrp elles, ce qui ne peut avoir lieu à moins que tous ces plans osculateurs ne coïncident entre eux , c'est-à-dire à moins que la courbe proposée ne soit plane.

247. D'après le n° 235, la sphère dont le rayon fet les coordonnées du centre «, 6, ï, satisfont qux trois équations

{m-alf + p-yr+(y-.zf=f (A)

(«— x)dx + (t— y)dy + (T-^ z)dz = 0. ... (B) <k« (a—^eftp— (6— y)dHj— (y— z]d*z=zO. . . (C)

a un contact du second ordre avec une oourbe à double courbure proposée dans le point de cette courbe auquel, appartiennent les coordonnées x, y, z. Ces trois équations ne déterminant pas entièrement les quatre quantités p, a? 6, T: il existe une infinité de sphères osculatrices à la courbe proposée dont il s'agit. Toutes ces sphères ont leurs centres placés sur la ligne droite intersection des deux plans normaux menés à' cette courbe par les points dont les coordonnées sont x,y,z, et x-\-dx9 y + dy, z -f dz. Les équations (B) et (C) sont celles de cette intersection.

Si Ton continue l'opération par laquelle les deux équations (B), (G), ont été déduites de l'équation (A), c'est-àdire, si Ton différentie l'équation (C) par rapport à x,y,z seules, pn aura une quatrième équation

SdstPs— (a— x)<Px— (6- y)d3y — (?— z)d*z=0. (D)

qui, étant réunies aux précédentes, déterminera entièrement les quantités a, 6, y et p. La sphère pour laquelle les coordonnées du centre «, 6, f satisferont aux trois éqijations (B), (C) et (D) aura t?n contact du troisième ordre avec |a oourbe proposée dans le point de cette courbe dont les coordonnées sont x,y,z.

On dpit remarquer d'ailleurs que les centres de toutes les spbère6 ayant up contact du troisième ordre avec la courbe proposée, se trouveront placés sur l'arête de re-

broussement de la surface lieu des centres des sphères osculatrices qui est produite par les intersections successives des lignes droites, dont cette surface est le lieu. En effet, les trois équations (B), (C), (D), lorsqu'on y regarde a, 6, y comme les variables, équivalent à celle des trois plans normaux menés à la courbe proposée dans les points dont les coordonnées sont respectivement x, y, z ; x + dx, y + dy , x + dz; et x-\- %ix +'d*x, y+Zdy + d'y, z+9dx+d?z. L'équation (B) est celle du plan normal à la courbe au point {x, y, z) ; la somme des équations (B) et (C) donne l'équation du plan normal au point suivant (x + dx, etc.); enfin r équation du plan normal au troisième point (x 4- 2dz + d*x, etc.) résulte de la somme faite de l'équation (B) , du double de l'équation (C), et de l'équation (D). Les trois équations (B), (C), (D) réunies appartiennent donc au point commua à ces trois plans, c'està-dire au point commun aux deux droites d'intersection du premier plan et du second, du second plan et du troisième, c'est-à-dire enfin au point de l'arête de rebroussement dont nous venons de parler. Si l'on élimine x,y,z des équations (B), (C), (D) au moyen des deux équations de la courbe à double courbure proposée, les deux équations restantes en a, 6, v appartiendront à cette arête de rebroussement. 248. Une courbe à double courbure quelconque et l'arête de rebroussement de la surface développable qui est le lien des centres de ses sphères osculatrices, ont d'ailleurs une relation qu'il est utile de faire connaître. Remarquons 1* que deux tangentes consécutives à l'arête de rebroussement sont perpendiculaires aux deux plans osculateurs consécutifs cor* respondants de la courbe proposée; car ces tangentes ne sont autre chose que les intersections des plans normaux à cette courbe; 2° que deux plans osculateurs consécutifs de l'arête de rebroussement sont perpendiculaires aux deux

tangentes consécutives correspondantes de l'arête proposée; puisque ces deux plans oscillateurs ne sont autre chose que les plans normaux à cette courbe. Donc, 1° o> désignant, comme dans le n° 238, l'angle de deux tangentes consécutives d'une courbe proposée, il désignera également l'angle des deux plans oscillateurs consécutifs correspondants de Varête de rebroussement de la surface lieu des centres des sphères osculatrices ; et 2° û désignant, comme dans le n° 239, l'angle de deux plans oscillateurs consécutifs de la courbe, il désignera également l'angle des deux tangentes consécutives correspondantes de cette arête de rebroussement. Ces propositions ont été données par M. Pourier.

Exemple de l'application des résultais précédents.

249. Considérons la courbe désignée sous le nom d'Wliee, qui est tracée sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, de manière à couper toutes les arêtes de cette surface sous le même angle. Soit R le rayon du cylindre, dont nous supposerons que l'axe coïncide avec l'axe des * , et représentons par a la tangente trigonométrique de l'angle constant formé par chaque élément de la courbe avec le plan des xy. Enfin désignons par t l'angle compris entre le plan des x% et le rayon du cylindre mené au point de l'hélice, dont les coordonnées sont x, y, x. La nature de la courbe donne évidemment

a>=rRcos.f, y = Rsin.*f z = Kat;

d'où l'on déduit pour les équations en x, y, x des projections de l'hélice sur les plans coordonnés

x*+y* = W, z=Ra.are.cos.|, 2=Ra.arc.sto*|.

Cela posé, si Ton veut déterminer en premier lien la direction de la tangente menée à un point quelconque de la courbe, on aura, par les premières équations,

djj =— RsilU.cfc, dy = Kcostt.dt> dz = Ra.dt. Donc

<to~~ tang.r' éx~~ ita.t;

et substituant ces valeurs dans les formules do n° 333, il viendra

V^î+ô1 tfHh? V^+â1

ou si Ton veut

D'après cela les équations de la tangente seront *— *'= — £-fo— art, *— *'= -^- fy— îrt* £^ = — ;

et celle du plan normal

Bin.f(s— a^)— cos,f(y— y*)— *(*— «0 = 0.

a', y, *' désignent les coordonnées du point de tangence m; t est Tincliàaison sur Taxe des x du rayon Om qui répond

à ce point. Tous les plans normaux forment le même angle avec le plan des xy.

250. En second lieu, pour la détermination du plan osculateur et des rayons de courbure , on déduira des expressions précédentes

*»= — RfliiLf.tfc, éy *zRcob. t. dt, dz = to.ét9

et prenant t pour la variable indépendante,

<ftc=— Rco&t.df*, d*y=— Rsin.r.<fc', ^ = 0; rf,x=Rstn.r.rff, d*y=— Rcos.l.df*, ^« = 0;

et par suite

lia; sin.f dy __ cos.f <fc a

Ainsi l'expression du rayon de la première courbure p du n' 236 donne ici

et les expressions de cos.X, cos. n, cos.v du même numéro, qui déterminent la direction de ce rayon, donnent

cos.X:=— cos.*, cos.!*23— Bin.f , cos.**»0;

d'où l'on conclut que le rayon de la première courbure appartenant à chaque point de la courbe est dirigé suivant le rayon du cylindre mené à ce point. Ainsi, tous les centres de la première courbure sont placés sur une hélice qui a le mime axe et le même pas que l'hélice proposée, qui eit tracée sur un cylindre dont le rayon est a'R.

L'équation du plan oscillateur, n° 233, devient

asiiufc— a/)— a cos. f (y— y9+*— «'=0.

Tous les plans osculateurs forment le môme angle avec le plan des xy.

Quant à l'expression du rayon P de la seconde courbure, la formule du n° 239 donne

P=*±*!r, d'où P=£;

et si l'on se représente ce rayon comme dirigé suivant la perpendiculaire au plan oscillateur, les cosinus des angles qu'il forme avec les axes des x, des y et des % sont respectivement

asln.r flco&f 1

expressions qui indiquent une direction perpendiculaire â la fois à la tangente de la courbe déterminée par les angles *;£*?> et au rayon de la première courbure déterminé Ijar les angles X, p, v.

Si Ton désignait par V Pangle constant formé par la tangente de la courbe avec le plan des xy, on aurait tang. V=a, et les expressions précédentes s'écriraient plus simplement

cos.a=— co6.Y.sin.fj co8.6 = cos.Y.cos.t, co6.y=8in.Y.

p = 5ôïAÇ^, P==sin.Y.c<».¥-

251. Considérons maintenant la surface développable qui est le lieu des centres des sphères osculatricea de la comte

proposée. Le cercle dont le rayon est Om = R étant (fig. 43) la base de l'hélice proposée (qui se projette en m'ri sur * le plan des xz ) , le cercle dont le rayon Op = a'R sera (la figure est tracée pour le cas où a est > 4) la base de l'hélice lieu des centres de la première courbure qui se projette en pV sur le plan des xz. m\L et m'y/ seront les deux projections du rayon de première courbure appartenant au point de l'hélice proposée dont les projections sont m, m'. Gela posé, la surface développable qui contient les centres des sphères osculatrices n'est autre chose que le lieu des intersections successives des plans normaux à l'hélice proposée menés par tous les points de cette courbe. Et comme tous ces plans forment le même angle avec le plan des xy, la surface qui est le lieu de leurs intersections successives est une surface hélicoïde, cette dénomination étant appliquée à toute surface décrite par le mouvement d'une ligne ou d'une autre surface dont un point parcourt une hélice, tandis que les parties de la ligne ou* de la surface tournent autour de l'axe de cette hélice. De plus, les intersections successives dont il s'agit ont toutes un point placé dans l'hélice projetée en pV, gui est le lieu des centres de la première courbure de Fhélice proposée. Toutes forment le même angle avec le plan des xy, et elles sont toutes perpendiculaires au rayon du cylindre sur lequel l'hélice projetée en pV est tracée. Elles ne sont autre chose que les tangentes de cette hélice, qui est le lieu de leurs intersections successives, c'est-à-dire rareté de rehaussement de la surface développable. pc et pY représentent sur la figure les projections de la tangente au point p, p'. Les points «c où ces tangentes rencontrent le plan des xy forment sur ce plan une courbe composée de deux branches Te, os qui sont

des développantes du cercle dont Op est le rayon. On voit par ce qui précède que la surface développable lieu des ( centres des sphères osculatrices est partagée en deux nappes distinctes par l'hélice lieu des centres de la première courbure qui est son arête de rebroussement. Ces deux nappes ne pénètrent point dans le cylindre dont Op est le rayon, mais elles s'étendent à l'infini dans tous les sens au dehors de ce cylindre. u

On peut démontrer ces propositions par le calcul, et en même temps trouver l'équation de la surface lieu des centres des sphères osculatrices d'après à ce qui a été expliqué k la fin du n° 242. Si dans les équations

rfif— <ftc(a— #)— d"y(6— y)— dtefr — £)=0,

qui appartiennent à l'intersection de deux plans normaux consécutifs d'une courbe à double courbure, on met pour a, y, z, et leurs différentielles, les valeurs précédentes en/, il viendra

«sln.l — 6cog.f = a(y — Roi)

«cos.f + 6sin.f=— a*R.

Ces deux dernières équations sont donc celles de la ligne dfntersection des deux plans normaux consécutifs menés au point de l'hélice proposée projeté en m, m', et au point suivant: il est facile, d'ailleurs, de vérifier que ce sont aussi celles de la tangente menée au point projeté en p, p' à l'hélice lieu des centres de la première courbure; la tangente dont je parle est donc la ligne d'intersection des deux plans normaux, conformément à ce qui a été dit ci-dessus. La seconde équation, qui ne contient que « et 6, est l'équation de b projection de cette tangente sur le plan des xy, c'est-à-dire

appartient à la tangente fit, menée par le point \i an cercle dort le rayon est Oy. ou ofR.

Si l'on élimine t entre ces deux équations, le résultat conviendra à toutes les lignes d'intersection qu'elles représentent, ou à la surface développable qui en est le lieu. Pour effectuer cette élimination, on ajoutera les équations après les avoir élevées au carré, ce qui donnera

(Tri Pon déduit

et en mettant cette valeur dans la seconde équation il viendra

pour l'équation demandée de la surface développable.

Remarquons que si Ton fait «f =0 dans l'équation précédente ■t+6t =«4R,+at (7— Ra*)% le résultat , qui est

appartiendra aux points t, où le* intersections successives des plans normaux qui répondent à chaque valeur de l'angle t, et qoi forment la surface développable, rencontrent le plan des «y. Or \/af-f-6* représentant la distance <h, tandis que a*R est représenté par Op, on conclut que la distance pc doit être égale au développement de l'arc l dans le cercle dont le rayon est «'R, ou que la oourbe w doit être me développante de ce cercle , comme on l'a dit plus haut.

253. Si Ton veut , enfin, connaître les développées de l'hélice, qui sont situées sur la surface développable dont il vient d'être question, on y parviendra de la manière suivante. Soit somme ci-dessus un point quelconque de l'hélice proposée projeté en m (fig. AA) sur le plan des xy, et en m' sur le plan des xx, et le centre de la première courbure de l'hélice correspondant à ce point, qui est projeté en |&,p>'. Considérons l'ensemble des plans normaux menés à l'hélice proposée, et supposons que l'on rabatte tous ces plans, en les faisant tourner autour de leurs intersections successives, sur le plan normal mené par le point m, m'. D'après ce qui a été dit n° 245 l'hélice proposée se réduira dans ce rabattement à un seul point m", et comme toutes les distances mji sont égales entre elles, l'hélice lieu des centres de la première courbure se rabattra sur une circonférence de cercle décrite du point m" comme centre avec le rayon my=m|x. Toutes les révolutions de cette dernière hélice se trouveront développées et rabattues les unes sur les autres, suivant leur véritable longueur, sur la circonférence de cercle dont il s'agit.

Cela posé, admettons que l'on veut déterminer la développée dont le premier point est projeté en p, p' et rapporté en p" sur le rabattement. Conformément à ce qu'on a vu n° 245, cette développée sera représentée sur le rabattement par la ligne droite m'V" qu'il faut prolonger à l'infini dans les deux sens. Si l'on veut donc trouver un point quelconque de la développée dont il s'agit, on considérera que les arêtes rectilignes de la surface développable, c'est-à-dire les tangentes de l'hélice lieu des centres de courbure, sont représentées sur le rabattement par les tangentes au cercle dont le rayon est m'y'- Si donc on marque sur cette hélice le point correspondant au point e (c'est-à-dire le point qui est situé au-dessous du point n, y/ à une distance mesurée sur

rhéfice égale à l'arc p"e); si Ton mène en ce point une tangente à l'hélice , et si l'on porte sur cette tangente la dis* tance ef, on aura le point cherché de la développée.

Pour construire d'abord de cette manière la partie de la développée commençant au point p., p' qui se trouve placée sur la nappe supérieure de la surface développable, on tracera donc les tangentes de la partie de l'hélice projetée en pi, |rf, et rabattue en p'7". Or, la tangente menée au point V sur le rabattement ne rencontre plus la ligne m >" prolongée. Donc si le point /, V de l'hélice est situé à une distance du point (&, p! mesurée sur cette hélice égale à la longueur du quart de circonférence p"rf", on est assuré que la portion de courbe dont il s'agit, projetée en pa, p'o', devient à une distance infinie parallèle à la tangente de l'hélice menée au point /. t . Elle a donc pour asymptote la ligne LA, L'A' menée parallèlement à cette tangente par le point L, L' de Thélice proposée qui est diamétralement opposée au point /, V. Le point L, L' termine Tare mL, mV de l'hélice proposée qui peut être décrit par le développement de la portion de courbe \m, p'a'.

Si Ton veut en second lieu construire la partie de la développée commençant au point p, p' qui se trouve placée sur la nappe inférieure de la surface développée, on emploiera les tangentes de la partie de l'hélice projetée en pn, p'n' et rabattue en p'n", en portant sur' chaque tangente la longueur gk en contre-bas du point de tangence. On obtiendra de cette manière la portion de courbe p6, p'6\ Et comme la tangente menée sur le rabattement au point n" ne rencontre plus la ligne m"p'' prolongée, il s'ensuit qu'ayant marqué sur l'hélice le point n, n' qui est situé à une distance du point p égale à la longueur du quart de circonférence \>."gri', la courbe \d>, p, V tend à devenir à l'infini parallèle à la tan*

gentedé l'hélice menée au point n,n\ Cette eourbe aura donc pour asymptote une parallèle NB, N'B' à cette tangente menée par le point N, N' de l'hélice proposée , qui est diamétralement opposé au point n, n'. Le point N, N' termine Tare mN, roW de l'hélice proposée qui peut être décrit par le développement de la portion de courbe pft, p'6'.

Les deux portions de courbe yia, pa' et pb, p'b' forment deux branches distinctes de la développée, réunies au point ja, yJ qui est un point de rehaussement.

Pour continuer à tracer cette courbe , et trouver la branche dont le développement pourrait décrire Tare de l'hélice proposée qui est au-dessus du point N,N' il faudra construire les tangentes à la portion np, n'p' de l'hélice lieu des centras de courbure qui est rabattue en w"tp", puis porter de bas en liant sur ces tangentes , à partir du point de tangence, les longueurs ik. Or, il est visible que si Tare d'hélice np, n'p* est égal en longueur au quart de circonférence n"ip1', cette opération donnera la portion de courbe pc, p'c'y parfaitement égale aux précédentes, ayant pour asymptote le prolongement NG, N'C de la ligne NB, N'B'.

La même construction donnera ensuite par les tangentes de la portion pq, p*q' de l'hélice lieu des centres de courbure, qui est rabattue sur le quart de cercle tf'q", la portion de courbe pd , p'd! qui est réunie en p,p' à la précédente par un point de rebroussement. Et ainsi de suite.

On voit par ce qui précède que la développée de l'hélice proposée est formée d'une infinité de branches parfaitement égaies entre elles, placées alternativement sur les nappes supérieure et inférieure de la surface développable qni est le Keu des centres des sphères osculatrices. Chaque brandie est réunie à la précédente par un point de rebroussement, et à U suivante par un asymptote qui leur est commune. Les points

de rebroussement sont placés sur l'hélice lieu des centres de courbure, à des intervalles égaux à la longueur du demi-cercle dont le rayon est égal au rayon de courbure (1 -f as)R.

253. Pour appliquer à l'hélice les notions présentées dans le n* 247, on remarquera qu'à l'égard de cette courbe les trois équations (B), (G), (D) de ce numéro deviennent respectivement, lorsqu'on y remplace x, y, z et leurs différentielles par le» valeurs en t,

« sm.* — 6 cos. l = «(ir — Rar) acos.f -f 6sin.f = — <£R «sin.f— 6cos.t = 0.

Ces équations, qui donnent

«=: — a»Rcos.f, 6= — a'Rsi&ut, et y = R*C,

représentent évidemment une hélice tracée sur un cylindre de raye» «*R, dont le pas est égal an pas de l'hélice proposée, et qui est placée dans une position opposée à cette dernière. Ces caractères appartiennent à la courbe qui est le lieu des centres de la première courbure de l'hélice proposée, comme on Ta trouvé dans le n° 250 ; et Ton a vu effectivement dans le n° £51 que cette courbe était l'arête de rebroussement de la surface lieu des centres de la première courbure.

Ainsi les sphères dont le rayon mesure la première courbure de la courbe proposée , et qui n'ont en général qu'un contact du second ordre avec cette courbe , ont dans le cas particulier de l'hélice un contact du troisième ordre.

Quant à la proposition du n° 248 on remarquera que

»=— , û=— ; et que d'après les valeurs de ds9 p et P données n* 280, on a par conséquent pour l'hélice proposée

Or l'arête de rebroussement de la surface lieu des centres des

sphères osculatrices est ici une seconde hélice dont le rayon

est a'R et dont le pas est égal à celui de l'hélice proposée;

d'où il suit qu'en appelant a' la valeur de a qui conviendrait à

cette seconde hélice, on doit avoir a'= -. Mais si l'on écrit -

à la place de a dans les expressions précédentes, elles deviennent respectivement

adt

Vï+af

en sorte que la valeur de l'angle *> appartenant à la courbe ne diffère pas de la valeur de l'angle û appartenant à l'arête de rebroussement, et réciproquement la valeur de l'angle Q qui appartient à la courbe ne diffère pas de la valeur de l'angle » qui appartient à l'arête de rebroussement; ce qui est conforme aux propositions énoncées.

XXin. INTÉGRATION DBS FONCTIONS DIFFERENTIELLES LES PLUS SHPLES D'UNE SEULE VARIABLE.

254. Une fonction différentielle du premier ordre d'une seule variable x est représentée en général par

Xdx,

X désignant une fonction quelconque de x. Cette fonction différentielle est toujours le résultat de l'opération de la différentiation appliquée à une certaine fonction y de la variable xfw

sorte que Ton a

dy = Xdx et % = x*

ou du moins on peut toujours la regarder comme le résultat d'une telle opération. L'opération désignée sous le nom d'intégration consiste à trouver la fonction y lorsque la différentielle Xdx est donnée, ou en général à trouver une fonction de x qui, étant différentiée, donne pour sa différentielle Xdx. La fonction y de la variable x qui, étant différentiée, donne pour résultat la différentielle proposée Xdx, est nommée Ttnttgrale de cette différentielle. De plus on désigne l'intégrale de la fonction différentielle Xdx par le signe / placé audevant de Xdx. Ainsi, l'équation précédente

dy = Xdx

étant posée , elle entraîne la suivante :

y = JXdxt

et réciproquement. Biais il importe de remarquer que si l'on avait trouvé une fonction de x, qui , étant différentiée, donnât pour résultat Xdx, on pourrait ajouter à cette fonction une constante quelconque C, sans qu'elle cessât de donner Xdx par sa différentiation. Si donc la fonction qu'il s'agit de trouver ne nous est connue que par cette seule condition qu'en la différentiant Ton doit trouver pour résultat Xdx, nous devons, pour en former l'expression générale, comprendre dans cette expression le terme constant et arbitraire C. D'après cela, y représentant Yintégrale de la fonction différentielle proposée Xdx, nous écrirons généralement

y=C + JX<tr.

Dans cette équation JXdx représente le résultat immédiat de Y intégration, c'est-à-dire la fonction de x qui, étant différentiel donnera Xdx pour sa différentielle. G est la constante arbitraire qui doit être ajoutée à cette fonction pour donner à l'expression de l'intégrale y la généralité nécessaire. Au moyen de l'addition de cette constante on est assuré que y comprend toutes les expressions analytiques formées de la variable x qui, étant diftérentiées , donnent Xdx j pour leur différentielle commune; car on ne pourrait ajouter j à JXdx qu'une quantité dont la fonction dérivée fût nulle, j c'est-à-dire une constante.

Tant que l'intégrale y n'est définie que par cette seule | condition d'avoir Xdx pour différentielle, la constante C demeure entièrement arbitraire» Mais dans toutes les questions qui dépendent du calcul intégral, il existe toujours des conditions d'après lesquelles on peut fixer la valeur de cette constante et parvenir à un résultat déterminé.

255. Ce n'est pas sans raison que Ton a affecté l'expression Xdx de l'initiale du mot somme pour exprimer la fonction dont la différentielle est Xdx. En effet une fonction quelconque peut toujours être regardée comme la somme d'un nombre infini de valeurs de sa différentielle. Pour le montrer clairement, nous reprendrons la considération, déji employée dans d'autres occasions, des valeurs successives

*o»*ô+à*> a?0+ 2Ax, x0+ 3Axf ayh(n— i)As,xa+iiAx,

attribuées à la variable indépendante t, a* étant regardée comme une différence constante, et des valeurs correspondantes

VotS/i*?!»^ y«~i>v« i

— fil —

affectées par une fonction y de cette variable. Lee différences de deux valeurs consécutives de y étant exprimées P^tyo* tyi* Ayâ, A!f"-o n<>us avons évidemment (pourvu que depuis x = 0 jusqu'à x = x* la fonction y ne prenne pas de valeurs infinies)

V* = Vo + *!fo + *Vi + *!fi + Ays + + Ay^i

expression qui peut s'écrire

Admettons maintenant que la différence At diminue de plus en plus en s'approchant de zéro, et que le nombre n augmente dans le même rapport, en sorte que nïx ne change point. Le nombre des termes compris dans la parenthèse augmentera de plus en plus, et la valeur de l'un quel-

Ai/-

conque «— de ces termes tiendra à se confondre avec la

valeur du coefficient différentiel -— qui répond à la valeur

Xt+ite de la variable x. D'où Ton voit qu'à mesure que àx diminue la quantité

Vax + A* + Ax + A* + + A* )**

s'approche d'une limite qui est la somme des valeurs en

nombre infini que prend la différentielle zr-dx de la fonc-

ax

tkm proposée, lorsqu'on fait croître la variable indépendante x

par l'intervalle constant et infiniment petit dx , depuis x=x0

jusqu'à x = x0 + «Ax.On en conclut que l'on passe de

la râleur quelconque y0 de la fonction à une autre valeur

quelconque y> en ajoutant à y0 la somme des valeurs que

dy prend la différentielle ~- dx dans l'intervalle compris entre

les valeurs x0 et x qui répondent à y0 et y. Si nous représentons donc comme ci-dessus par Xdx la

différentielle de la fonction y, c'est-à-dire ~- <**• bous

pourrons écrire à la place de l'équation précédente

"xrfa?,

! = yQ+f*

Le signe J„0 indique que Ton a fait la somme des valeurs de la différentielle Xdx qui répondent à toutes les valeurs ?„, x0 + dx y x0 + Zdx , x0 + 3dx , etc. , jusqu'à la valeur x0-\~(n— 1) dx qui précède la valeur x correspondante à la valeur y de la fonction qui est dans le premier membre. En écrivant x0 au bas du signe d'intégration J, on spécifie la valeur particulière de x correspondante à y0 à partir de laquelle la somme est prise.

L'équation précédente subsiste d'ailleurs quelles que soient les valeurs correspondantes x0 et y0; et si Ton avait simplement donné une différentielle Xdx sans spécifier à partir de quelle valeur xQ de la variable indépendante on voulait sommer les valeurs de cette différentielle, ni quelle était la valeur correspondante y0 de la fonction , il n'existerait aucun moyen de les déterminer. Donc en considérant dans l'équation précédente la fonction y comme étant assujettie à cette seule condition d'avoir Xdx pour différentielle, il faut y regarder x0 comme arbitraire aussi bien que y0. Il est donc inutile de marquer la valeur indéterminée de x à partir de laquelle la somme jXdx est prise , et l'on peut écrire comme

dans le numéro précédent

y = C+/X<tr.

256. indétermination de la valeur de l'intégrale y, et la nécessité d'en compléter l'expression par l'addition d'une constante arbitraire , paraîtront bien évidentes si l'on considère x comme l'abscisse d'une courbe plane dont y représente l'ordonnée. En effet, lorsque la fonction y est donnée explicitement ou implicitement en x, la figure et la position de la courbe sont entièrement déterminées. Mais il n'en est pas de même lorsqu'on donne seulement la différentielle dy = Xdx, ou le

coefficient différentiel ~=X de la fonction dont il s'agit. ax

L'expression de ce coefficient différentiel détermine simplement la direction de la tangente de la courbe qui a lieu pour chaque point correspondant à une valeur donnée de x. Si Ton conçoit qu'une courbe mm ait été tracée de manière à sa-

dy tisfaire à cette condition -^ =X, et qu'ensuite on la déplace

en faisant décrire à tous ses points des parallèles à l'axe des y, elle satisfera encore à cette même condition dans toutes les positions mm, mm qu'elle occupera; et il n'y aura aucune raison pour choisir une de ces positions plutôt que toute

autre.

n est évident, d'ailleurs, que l'ordonnée de la courbe doit &re exprimée par une fonction de x qui ait pour coefficient différentiel X. Nous représentons par jXdx une telle fonction. Mais si l'on s'en tenait à cette seule fonction en écrivant simplement 3f = jXix, on choisirait entre les courbes dont il s'agit, puisque une valeur déterminée de x correspondrait alors une valeur déterminée de y. Si l'on veut donc (comme il est né-

1" umtK. 18

cessaire de le faire) conserver à l'intégrale une aussi grandi généralité et un sens aussi étendu qu'à la différentielle proposée, on écrira

y=zG + fXdx9

G désignant une quantité constante arbitraire. De cette i nière l'expression de y peut représenter l'ordonnée de toutes les courbes en nombre infini dont la direction de la tangente est déterminée dans un point quelconque par l'expression

-^ = X du coefficient différentiel du premier ordre*

157. Remarquons enfin que, pour faim cesser toute indétermination sur la courbe dont la fonction y doit représenter l'ordonnée, il suffirait de se donner un point quelconque par lequel cette courbe devrait passer. Il est facile de se rendre compte, en effet , que la connaissance d'un seul point d'une courbe, et de la direction de la tangente correspondante à une valeur quelconque de l'abscisse , suffit pour tracer cette courbe dans toute son étendue. Mais se donner un point d'une courbe, c'est dire qu'à une certaine valeur x0 de x correspond une certaine valeur y0 de y. Or, si Fou fait une telle supposition, la constante arbitraire C de l'équation

y = C + JXdx

se trouvera déterminée; car soit P la fonction de ar, représentée par jXdx, et désignons par P0 la valeur que prend P quand x=xQ. On devra donc avoir

équation qui détermine la valeur de C.

En général, 1* constante arbitraire est déterminée lorsque,

en donnant la différentielle Xdx dont on demande l'intégrale y, on .ajoute qu'à une certaine valeur donnée a de x doit répondre une valeur également donnée 6 pour y.

258. La nature de l'opération désignée par le nom d'intégration étant expliquée par ce qui précède , il reste à indiquer les moyens que l'analyse fournit pour effectuer cette opération, c'est-à-dire pour trouver la fonction finie de la variable x qui, étant différentiée, donnera une différentielle quelconque proposée Xdx; ou, si Ton veut, pour trouver la fonction primitive dont une fonction donnée X est la fonction dérivée ou le coefficient différentiel du premier ordre. Mais nous devpns Eure observer que, tandis que l'opération qui consiste à déduire d'une fonction donnée y sa différentielle dy s'effectue par on procédé régulier conduisant toujours au résultat demandé, l'opération inverse qui consiste à revenir de la différentielle à la fonction primitive, ne peut au contraire s'effectuer que dans des cas particuliers, et en quelque sorte par exception. En général, on n'est pas assuré de pouvoir assigner en termes finis la fonction primitive de x correspondante à une différentielle donnée Xdx; en sorte que l'on est souvent obligé, comme on le verra par la suite, de suppléer par des procédés d'approximation au manque de l'expression finie de cette fonction primitive. Il importe, d'ailleurs, de connaître les principaux cas dans lesquels l'intégration peut être effectuée, et les méthodes dont cette opération exige l'usage.

259. fl est évident, en premier lieu, que l'on obtient immédiatement l'intégrale d'une différentielle proposée lorsque cette différentielle est reconnue pour appartenir aux fonctions simples dont il a été question ci-dessus dans les art. II et III. D'après cela, on voit sur-le-champ qu'en supposant

dy = xmdx,

OD

aura

dx

C + te

e*dx

a*dx

tivux.dx