C — COS.X

cos.x.dx

G + sio.x

dx

COS

dx sin.'j:

dx jï=x*

dx ' y/T^x*

dx

dx

C + tang.x C — CùLx

C + arc.sta.* C + arc. co&* C -j- arc tang.x C + arc cotx

(x La formule fxmdx= ■ ■ subsiste en général pour toutes

les valeurs positives ou négatives, entières ou fractionnaires, et même irrationnelles, de l'exposant m. On peut distinguer les cas particulier suivants :

qui se présentent fréquemment. Il faut toutefois excepter le seul cas où Ton aurait m = — 1, et où la formule générale

donnerait / — = -. Ne concluons pas, d'ailleurs, de ce réj x u

suKat que l'analyse indique ici une valeur infinie pour l'inté-

grale de la fonction différentielle — , ce qui serait absurde.

Nous devons remarquer, en effet, que l'intégrale doit être complétée par une constante arbitraire. Or, comme rien n'empêche de supposer à cette constante une valeur infinie négative, il faut seulement conclure que l'expression générale

C+— 7-7 donne un résultat indéterminé quand m = — 1.

En mettant cette expression sous la forme — — > a déni-pi

signant une constante (ce qui est permis), et la considérant

comme une fonction de m qui devient - lorsque l'on attribue

à m la valeur — i , on pourra en trouver la véritable valeur en appliquant les règles données dans les numéros 94 et suivants. Le rapport des coefficients différentiels des deux termes

Ix Xm"^*—'l(t fl*^

de la fraction pris relativement à m est — — - , et

donne en faisant m= — 1, Ix — la pour l'expression de la

fonction cherchée. On sait effectivement, par le calcul diffé-

dx Cdx

rentiel , que d.lx = — , d'où résulte I — = te , expression

à laquelle on doit ajouter une constante arbitraire. La valeur — 4 attribuée à l'exposant m entraînant un changement dans la nature de la fonction par laquelle l'intégrale est représentée, fonction qui alors n'est plus comprise dans Tex-

pression générale C -

on est

averti de cette cir-

constance par la valeur indéterminée

que prend alors cette

expression.]

-sw —

MO. A l'égard des fondions différentielles pins composé», on ne parvient à les intégrer qu'en employant divers procédés dont l'objet est toujours ou de décomposer la fonction proposée en d'autres fonctions différentielles plus simples qui rentrent dans quelques-unes des précédentes; ou d'en changer la forme par la substitution d'une autre variable à la variable #, afin de la faire rentrer également dans les différentielles dont les fonctions primitives sont immédiatement connues; ou enfin de faire dépendre la recherche de l'intégrale demandée de la connaissance d'une autre intégrale qu'il est plus facile d'obtenir.

Tel est l'objet du procédé connu sous le nom d'intégration par parties, qui est dqp plus généraux dont on fasse usage dans le calcul intégral. Remarquons que

diUv = udv + vdu:

donc réciproquement

tw — Juéo + fvdu; d'où l'on tire

Ainsi, ayant mis une différentielle quelconque proposée sous la forme udt>, c est-à-dire sous la forme du produit d'une fonction finie u de la variable x, par la fonction différentielle dv de cette même variable (dont nous supposons que l'on connaisse l'intégrale v) , la recherche de l'intégrale /tufo est ramenée à connaître l'intégrale jWu. 11 est superflu d'ajouter que l'expression de l'intégrale demandée doit toujours être complétée par une constante arbitraire, que noua avons omis d'écrire dans l'équation précédente.

261 . Pour faire concevoir par un exemple l'utilité du procédé

de l'intégration par parties, soit la différentielle proposée dy=xcos.xdx. Noos considérons les deux facteurs x et <x*.xdx, dont le dernier a pour intégrale sin. œ. Ainsi, conformément à la fcrmnle générale précédente, nous écrirons

JxCQ8.xdx=x.6iiLX—f8in.xds

= X.SULX + COS.X

et en complétant l'intégrale par une constante arbitraire nous avons

y = c -f x . sin. a? + cos.j;

expression dont l'exactitude peut être vérifiée par la différentiation. Ajoutons que le succès de l'opération dépend en général du choix des facteurs dans lesquels on décompose la différentielle proposée. Si dans la différentielle précédente

XCOLXdX,

nous considérions les deux facteurs cos.a? et xdx, dont le

x1 dernier a pour intégrale —, nous devrions écrire

f cos.x . xdx = ^j^ — f* (— sin.*<te)

x^os.x fxH\TL.xdx

en sorte que la recherche de l'intégrale demandée se trouverait dépendre de la recherche d'une autre intégrale plus compliquée. On doit toujours décomposer (s'il est possible) la différentielle proposée de manière que l'intégration d'un des facteurs et la différent jation de l'autre la ramène à une expression plus simple dont l'intégral* se présente immédiatement. 262. L'opération de l'intégration des fonctions différen-

tielles peut d'ailleurs être facilitée par les remarques suivantes:

4° Lorsqu'une différentielle est affectée d'un facteur constant, ce facteur affecte également l'intégrale;

dy = aXdx donne y = C + afXdx.

2° Lorsque la fonction proposée présente la somme de plusieurs différentielles, l'intégrale demandée est également h somme des intégrales de ces différentielles considérées chacune à part;

dy = Xd»+Xtdx— Xsdx

donne

y = C + JXdx + JXtdx— fXJx.

3° Lorsqu'une différentielle est de la forme ou peut être mise sous la forme

/(X).dX,

X désignant toujours une fonction quelconque de la variable x, on peut alors la traiter comme si X était une variable indépendante; en sorte que si F (x) représente la fonction de x dont la différentielle est f[x).dx, c'est-à-dire si Ton a

F(x) = ff(x).dx,

on a également

F(X) = //(X).rfX.

Soit proposée, par exemple, la différentielle dy = x"1"1. sin.(« 4- bxm)dx.

En multipliant et divisant par mb on peut écrire

dy = — r .sin.(a + tom) . mbaf*~ldx.

Or, mbxm-idx est la différentielle de la fonction a+bxm qui se trouve sons le signe sinus. En posant donc X=a+bxm, nous aurons

dy = — sin.X.dX,

dont Tintégrale est

y = C tC08.X = C — — TCoa(a + fcrm),

comme on le vérifiera en appliquant les règles de la différentiation.

XXIV. INTEGRATION DIS FONCTIONS RATIONNELLES ENTIERES ET FRACTIONNAIRES,

263. On entend par fonction rationnelle entière de la variable x toute fonction formée de termes où il n'entre que des puissances de cette variable dont l'exposant est un nombre entier. Telle est la fonction différentielle

dy = (a + bx" + ex» + dx* -f etc.)cte ,

dans laquelle a,b,c, sont des constantes quelconques

et m, », p, sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Une telle fonction peut toujours être intégrée, et son intégrale est évidemment, d'après ce qu'on a vu dans l'article précédent,

toc*1 caf+* daJ+l

J,=c+ûa!++- + : + etc-'

G désignant la constante arbitraire. Il faut remarquer seulement que si l'exposant de x dans l'un des termes était — i,

en aorte que ce terme lût - dx, son intégrale serait k.lx.

De plus, la différentielle précédente s'intégrerait encore de la même manière si les exposants m, n,p. . .. avaient des valeurs quelconques non entières.