Si Ton donnait la fonction différentielle sous la forme

dy =»(« + fac* + ex* + etcfite ,

r étant un nombre entier, on la ferait rentrer dans la précédente en développant par la multiplication la puissance indiquée.

Mais si Ton avait simplement

dy = (a 4- bxydx f qui peut s'écrire

dy = -r(a + bxYbdx9 •

on remarquerait que bdx étant la différentielle de a-\-bz, U fonction proposée se trouve dans le cas dont il a été question dans le n° 262, en sorte que l'on a immédiatement eo posant •+ ta? =»X , .

d'où (quel que soft \e nombre r, sauf le cas où il serait —1

De même si l'on avait

dy = (a + baPfxr-idx , oo trouverait par une remarque semblable

i65. Considérons maintenant les fonctions fractionnaire* rationnelles dont la forme générale e*t

rf ax^-hto»-1* **»-'+ +f .

a,t,r, fetp,q, t désignant des coefficients constants

quelconques ; m et ti des nombres entiers. Nous remarquerons en premier lieu que si l'exposant m dans le numérateur surpassait l'exposant n dans le dénominateur, on pourrait, par la simple division algébrique, changer la fraction qui multiplie dx en une fonction entière à laquelle se trouverait ajoutée une nouvelle fraction dans laquelle le plus grand exposant de x dans le numérateur serait plus petit, dune unité an moins, que le plus grand exposant dans le dénominateur. L'intégration de la fonction entière s'effectuerait d'après ce qui a été dit dans le n° 263. Ainsi, l'intégration de la différentielle proposée se ramène toujours au cas oh l'exposant m est au plus égal à n — i . Cela posé, soit en général

une fraction rationnelle, ¥(x) désignant un polynôme en x

du degré n, de la forme a^+px*"1-}- qx?~* + +l; et

f\x) un autre polynôme en x du degré n — 1 au plus. Supposons qu'ayant écrit l'équation

cette équation ait été résolue par les méthodes connues, et qu'on en ait déterminé en nombres toutes les racines réelles et imaginaires. Désignons par a, a,, at, etc. les racines réelles

par «±6v/^-ï, «î1*1^ — 4, «,±6,^/^1, etc. les racines imaginaires ; et par conséquent par x — a, x — a„ x — av etc t les facteurs simples correspondants à chaque racine réelle; et par (x— *)* + &, [x— •i)*+tt\ (x— *jf+6*, etc, les facteurs du second degré correspondants à chaque couple de racines imaginaires. Supposons en premier lieu qu'il n'y ait pas de racines égales entre elles. On sait par la théorie des équations que le polynôme F(x) est égal au produit des facteurs simples ou doubles correspondants aux racines de l'équation F(j?)=0 ; et nous remarquons que l'on peut toujours poser

^A. + Ju + Ji. + ete, f(x) x — a x — ax x — a, *

■ MWN 1M?+Nf M2x+Nf

A, Aj, A,, etc.; M, M,, M„ etc; etN, Nlf Nt, etc., désignant des constantes; puisqu'en réduisant les fractions du second membre au même dénominateur, le dénominateur commun sera F(x), et le numérateur un polynôme en x du degré n — 4 que Ton rendra identique avec le polynôme f(x) , en posant n—i équations du premier degré,

c'est-à-dire autant d'équations qu'il existe de constantes in-*

déterminées. La fraction proposée ^-4 se trouvera décom-

posée de cette manière en fractions partielles de la forme

A Mx+N

, ou \t i er U|iant * lft détermination des con-

stantes qui forment les numérateurs des fractions partielles,

on pourra l'effectuer très-simplement de la manière suivante.