Proposons-nous de déterminer le numérateur A de

la première fraction simple , et posons pour abréger

F(x)=(x— àj.^x)

en désignant par y(x) le produit de tous les facteurs du polynôme ¥(x) à l'exception de x — a. Nous pouvons écrire au lieu de l'équation précédente

<®(x) désignant une fonction entière de x, et si nous multiplions les deux membres par F(x), il viendra

Or, si l'on supposait x=a, la fraction multipliée par A

deviendrait -, et donnerait pour sa véritable valeur, d'après

la règle des numéros 94 et suivants, F'(a), tandis que le terme suivant se réduirait à zéro. Donc

fla) = â.FW. <Toù A = |g:

F'(fl) •

en désignant par F'(#) la valeur que prend le coefficient différentiel du premier ordre de la fonction F(x) lorsqu'on y suppose x=a. 11 est visible que les numérateurs des fractions simples suivantes se détermineront de la même manière, et qu'on aura également

H n'est point à craindre d'ailleurs que les valeurs deF(«), F"(«,),F(oJ, etc., se réduisent à zéro : cela ne pourrait arriver qu'autant qu'il y aurait au moins deux racines égales à a, a„ a„ etc., ce qui est contre la supposition.

267. Les numérateurs des fractions simples correspondantes aux racines imaginaires peuvent être déterminés d'une manière semblable. Soit la fraction

on peut la mettre sous la forme

P—QyCZÏ p + Q^Zj =2Pfr — q) + 2Q6

et l'on a M =2P, N =— ÎP«+ 2Q6. En employant le même raisonnement qui vient d'être présenté, on conclura donc que les quantités P, Q doivent satisfaire à l'équation

fta + ÇJZT)

V ■ F'(a+6vCT}f

qui se partage en deux équations distinctes lorsqu'on égaie

séparément les termes réels et ceux qui sont affectés du radical imaginaire y —4 , et qui suffit par conséquent pour détemuaer les deux quantités dont il s'agit. On aura de la même manière

Ml=SPltlll=-Vt8l+9QA; M,=2Pf, Nf=-2P>«,+ 2QA;

et ainsi de suite.

2tf8. Si Ton suppose en second lieu que l'équation F(x)=0 posée dans le n° 265 a plusieurs racines égales à la racine

réelle x = a,fo décomposition de la fraction proposée ^p-

pourra s'opérer de la manière suivante.

On écrira

/W A A, A, Am «W

P(x) ~" (*—«)» "*" (x— «f-« "** (x—af-* T ^ *— a T *(*)

en désignant par h le nombre des racines égales dont il s'agit, par A, At, A„....À*-i des constantes indéterminées; par © {x) le produit de tous les facteurs du dénominateur F(«) à l'exception du facteur {x — a)*, en sorte que Ton a F {x) = (x—à)k.y[x) ; enfin par <tsr{x) un polynôme entier en x dont le degré est inférieur à la plus haute puissance de x contenue dans ?(*). Il est visible qu'en réduisant toutes les fractions du second membre au même dénominateur, qui sera F(ar), on pourra rendre les deux membres identiques en disposant

des constantes A, A„ À,,.... A*t. Pour déterminer les valeurs de ces constantes, nous remarquons qu'après la réduction au même dénominateur dont on vient de parler, l'équation précédente devient simplement

/p(x) = A.?(a?) + AI(aî-a).9(a:)-f-A4(a;-.a)«.<p(x) +

Or en la différentiant une, deux, trois fois, etc. , puis faisant après les difiérentiations x=a, cette équation donnera les suivantes,

f(a)=A.9(a) r(«)=A.f'(a)+A1.f(aJ rW = A.^(a)+Al.Jf'(«)+A1.^(a) r(«)=A.<(a)+A1.V(«)+A..«f(«)+Ai.«f(aJ Ha)=F A.^aJ+A, . fop"(a)+Àt. 12?''(a)+A8.2*a>'(a)+ A4.2A?(c; etc.

au moyen desquelles les valeurs de A, A„ A,,...., A^ pourront être calculées successivement. Ces valeurs dépendront, comme on le voit, des fonctions dérivées successives de la fonction <p {x), qui est connue, puisqu'elle est le quotient de la division du dénominateur F{x) par {x — a)\ Mais si Ton ne veut point calculer cette fonction , on remarquera qu'en prenant dans l'équation

les coefficients différentiels ou fonctions dérivées des divers ordres de chaque membre on trouvera généralement pour l'expression de la fonction dérivée d'un ordre quelconque désigné part, *

¥®(x)=Kk^Xk—Z)....(k-i+iXa>--dy-* •*(*) + LA(Af^iXfc— 2)....(/k— i+tya>-ay-*+Kv'(x)

+ ^^^-^-^-^^..(fc-t^flX^^)*^^^^

d'où l'on voit facilement qu'en faisant a? = a dans les fonctions dérivées des ordres k, * + 4, k+%, etc., il Tiendra

pc*)(fl)= ifc(le— i)(fc— 2> 2.1? (a),

F<*-*>(a)=(*+l).W--i)(fc--2). 2.1?' (a),

F<H*> (a)- flH-I)(fc+l) .nk^txic-fy 2.1?" (a),

^(fl)= ^±5Î^^^±^ . A(lb— A)(^— 9> 2.1^(a),#

équations par lesquelles les quantités «p(a)? <p'(a), <p"(a), etc., se trouvent déterminées au moyen des valeurs que prennent les fonctions dérivées des ordres Jfc, 4+4, *+2, etc., du dénominateur F(x) lorsqu'on y fait x=a.

269. S'il existait dans l'équation F(a?)=0 d'autres racines réelles égales entre elles, par exemple k racines égales à at, on concevrait de même que la présence du facteur (x — èt)h dans le polynôme F(x) donnerait lieu

f(x) dans la décomposition de la fraction proposée ~-~, à la

présence des fractions simples.

• A i Ai i A> i . i A*-*

1" AHrtX. 10

et Ton emploierait pour le calcul des constantes A, A,, A,.... A*ft les formules données ci-dessus, dans lesquelles 3 faudrait regarder <p(x) comme réprésentant le quotient de la division de F(x) par le facteur (x — aj1. Il en serait de même s'il se trouvait un plus grand nombre de racines multiples.

270. Ces procédés s'étendront d'ailleurs facilement au cas où il y aurait des racines imaginaires multiples dans l'équation F(a?)=0. Si l'on représente en effet par [(x—*)*+&}k l'un des facteurs du polynôme F(x), et si Ton veut déterminer les fractions simples auxquelles la présence de ce facteur doit: donner lieu, on écrira

f(x) Bto+N M^-f-N, , . M,*+ftt --

F(x) "~ [(x— <*■)+*!* + [{x-*)*+V]k-* + ((jj-ap+P]»-1 "*" * s(jt

en' désignant par <p(&) le produit de tous les facteurs dont se compose le polynôme F(x), à l'exception du facteur [(x — a), + 6t]fc. Lorsqu'on réduira le second membre au même dénominateur, cette équation deviendra

81 Ton prend les différentielles successives, puisque Ton donne à x les valeurs x=*q=6^~ï qui réduisent à léro le facteur [x— a)1 + 6% on obtiendra, en remarquant que chacune de ces équations se partage en deux lorsqu'on égale séparément les parties réelles et les parties imaginaires, le nombre d'équations nécessaires pour la détermination des constantes M et N, M^ et Nlf Mt, et Nt, etc. Il en serait de même si le dénominateur de la frac-

— action proposée présentait d'autres racines imaginaires et multiples. 274. Revenons maintenant à l'intégration de la fonction

différentielle

ag-4. àaf?++ car-**... ....+/ ,

que nous nous sommes proposée n° 265. D'après oe qu'on a ru dans les numéros précédent*, on peut toujours, par b décomposition de la fraction qui multiplie dx en fraclions plus simples, -faire dépendre cette intégration de celle des différentielles suivantes,

Kdx Acte (Ito + ltyto (NLc + X)dx x-a* (x—a)k* {x— *?+&' [(a?— a)«+6»l*'

Tout se réduit donc à intégrer ces dernières différentielles. Or, eu se rappelant ce qui a été dit n° 389, on voit aurkchamp, !• que

C représentant totfloura la constante arbitraire introduite par l'intégration; 2* Que

dy = tZT^i donne y = C — /T—TT7 xE7«

«2. 3° Que

Ma + N dx . (Mx + K)dx M(x — *)dx 6 6

donne

y=C + |./[(x-«)«+6«]+î!^.ai^taiig.^.