Enfin, qu'à l'égard de la fonction différentielle

la première partie

M(x—a)dx

Ua.jp + *>> a visiblement pour intégrale

V 2(fc— !)[(*— a)«+e«]«î

et quant à la seconde partie

Mtt + N dx (M« + N)rfg 6»*-' 6

qu'on peut en effectuer l'intégration comme il suit: j

Posons g = I, d'où — =zdt, cette dernière <MB-

rentielle deviendra

M« + N cft I

en sorte qu'il s'agit d'intégrer la fonction différentielle

dx

Or, cette fonction pouvant se mettre sous la forme suivante (en ajoutant et retranchant <*dt au numérateur)

on a donc

dt t*dt

/dt Ç dt Ci

'intégrale /

Mais en considérant dans X

en

i les deux

va (|1+l

fadeurs - et t> et appliquant le procédé de l'in-

tégration par parties conformément à ce qu'on a vu dans le n* 260, il vient

'2-(fr— i)(t*+i)*

rdt i

V 2 (fc-i)(f« et en substituant dans l'équation précédente,

k^-S r dt k-i)J UH)1

l){fi+i)1

f dt t 2fe-3

J (f»+i)* — 2(/fc— i)(rf +1)*-1 + 2(fc-

Ainsi l'on fait dépendre l'intégrale cherchée d'une autre intégrale de même nature, dans laquelle l'exposant k du dénominateur est diminué d'une unité. En continuant de la même manière on trouve pour l'expression de l'intégrale doùt il s'agit

V+iJ*

fe— l+ifc— l'fc— 2+fc— l'fr— 2 fc— 3 +fr— l'fc— 2 " /t— 3* &— 4 +

*-k fc— :

**fc— i*fc Vfc 3'

fc— 1 k— 2 /t— 3*

arc. tang. t.

Si Ton remplace dan* cette expression t par sa valeur

x — a . Ma + N , ,

—y—, et si Ion multiplie par gtti1 , on aura donc (en

ajoutant une constante arbitraire) Impression de l'intégrale de la seconde partie !* \*\ &$ de ,a **** rentielle proposée.

On pourra toujours, au moyen des notions qui vien* nent d'être présentées, effectuer l'intégration d'une fonction différentielle quelconque rationnelle.