XXV. nrriGiATioif dbs fonctions DurfamnELus àmcxâs

D'UN RADICAL DU SECOND DEGr£. DIFFERENTIELLES BINÔMES.

274. Lorsque les fonctions différentielles algéhriques sont irrationnelles, on n'est point assuré en général d'en pouvoir effectuer l'intégration sous forme finie. Les procédés que Ton peut employer pour y parvenir consistent principalement à substituer à la variable x par rapport à laquelle la différentielle proposée est prise, une nouvelle variable (, en établissant, d'ailleurs, entre ces deux variables une relation telle, que l'irrationalité de la fonction proposée disparaisse par la substitution de la valeur de ix en i et dt,

275. Le cas le plus étendu dans lequel le succès de ces procédés soit assuré est celui oji l'irrationalité de la fonction proposée tient seulement à la présence d'un radical do second degré, tel que sja + bx^cx1, ou s^a + bx — car1» a et 6 désignant des quantités constantes quelconques, et c une quantité constante positive. On peut toujours alors rendre cette fonction rationnelle, et par conséquent en

effectuer l'intégration au moyen des procédés qui ont été présentés dans l'article précédent.

En premier lieu, lorsque le signe du terme ex* est + , on posera, en désignant par I une nouvelle variable,

\a + bx + c&—t— fi.x, ou a+&r=f*— ïfî.tx; d'où

*l/e.t+b* {îs/c.t+b)* f

valeurs dont h substitution rendra évidemment la fonction proposée rtfiotpelle.

776. En second lieuf lorsque )o signe du terme etf est —, la fonction proposée deviendra éggjement jrptiQpnelle si Ton pose

Va + fer — cx*=xt— ^â, ou 6 — cx=xt*— îyfa.t ; tfoû

6+VHj et àss2(^-^.^t

Mais comme cette transformation, dans le cas oq la quantité a serait négative, introduirait des termes imaginaires dans la différentielle proposée, pn peut alors procéder de la manière suivante, Refpprquons que l'on est ici censé opérer sur des quantités réelles, et par conséquent sur des valeurs de x telles que le radical \f a + bx— ex* soit réel. Donc le trinôme a + bx — ex* a des valeurs

positives; d'où il suit que l'équation a?1— -a? =»0

a ses deux ruines réelles. Représentons par p et ptl ces racines. Nous poserons

V^a-f te— cx^= \Jc(x— pXPi— x)~ft(x— p)f f ou pg— -jp=(x — pXf ; d'où l'on déduit

Ces valeurs rendront rationnelle la différentielle proposée sans y introduire des quantités imaginaires.

277/ L'irrationalité d'une fonction différentielle peut également disparaître lorsqu'elle résulte de la présence de

deux radicaux différents du premier degré, tels que s/a+x>

^b-\-x, en écrivant

^6+a? = *f d'où x = P—b, dx=z*t.dL

Cette transformation fait disparaître le second radical en

donnant au premier la forme \J a — 6 + f1, oe qui ramène la fonction proposée au cas du n* 275.

278. Nous indiquerons les applications les plus simples des procédés qui viennent d'être exposés. Soit

dy=

fa + bx+cx*

la transformation du n° 275 changera cette différentielle en

d - Ut V îfi.t + b*

Donc

on en remplaçant I par sa valeur en x,

ou, ce qui revient au même,

y = C+-=. Il — =+^c.a? + ^a+6x + «cl|. s/c \2vë /

C désigne toujours la constante arbitraire introduite par l'intégration 2791 Soit

\Ja + bx — ca?

Si l'on emploie la première transformation du n° 276, cette différentielle se changera en

ïdt . 2 sic

dy=— .-¥--5,

* = -?+?' ~ "" Jg-77?

dont l'intégrale est

y = C F.arc. tang.— ,

yc yc

et en mettant pour t sa valeur en x

»=C-A.arcteD8>+^/+te-c^

vc • vc-*

Si maintenant Ton emploie la seconde transformation do même numéro, la différentielle proposée se changera en

2 dt rfy= r

dont l'intégrale est

y=C -.arctang.f ;

Si et en remplaçant t par sa valeur

y=C — ^r.arctang.l/PiZL*

fc-"-^*^'

ou ( puisque p et p, sont respectivement les racines de l'équa-

tion x* x =0)

9 sfc y 2^-6+^+*'

Ces deux expressions de l'intégrale demandée y, peuvent être employées et ne diffèrent l'une de loutre que par la valeur de la constante arbitraire.

280. Dans le cas particulier où la différentielle proposée serait

. , éx

on aurait a=i, 6=0, c = i. La formule du n° 278 donnerait