Dans le ca3 où cette différentielle aérait
, dx
on sait que l'on aurait y=C+arc sin. x. En effets la première formule dq a0 379 donne
y = C-2arctang.^~— ?!.
Soit arc sin. x=^ : cette expression deviendra
i 4- cos-o 00,,, 2 *
y=C— 2arctang. ^ ? = C~2arc tang. — '— =0 + 9.
* sin. ^ 9
De même, la seconde formule du n° 279 donne y = C-2arctang. y^|;
c'est-à-dire
on
^C-arctang.^^^C-arctang. ^^c-g-^c + 9-
282. Remarquons, d'ailleurs, que fou pourrait déduire (Intégrale de la fonction différentielle
delà formule du n° 278 en y faisant a=i, 6=.0, e=— 1. On trouverait ainsi l'expression imaginaire
y = C + -rl= . t (xvPT + v/T=ï«).
Pour que cette expression s'accorde avec l'expression réelle y = C + arc sin. a:, il est visible que l'on doit attribuer dans l'une et l'autre la même valeur à la constante arbitraire, puisqu'elles donnent également y = C quand on y fait x=0. Donc
arc.sin*a?=-7=./(a?^^T-f-a:v/i— «*) ,
ou
équation qui s'accorde avec ce qu'on a vu dans l'article XII. 283. Nous remarquerons encore que pour effectuer l'intégration de la différentielle
. dx
sja + bx — ex*
il peut paraître plus simple de ne pas employer l'une ou
l'autre des transformations dont on a fait usage n° 279 et de
dt ramener immédiatement cette différentielle à la forme -==>
On aura de cette manière
dx
*vs+s-(~*)'
dont l'intégrale est
le
on
y = Ç + -p aTC SJn. -—.
y=C+-parcain.-
Cette nouvelle expression ne diffère encore de celles qui ont été données n° 279 que par la valeur de la constante arbitraire.
On pourrait ramener de la même manière la différentielle
dx
^a + bx + ex*
di à la suivante . , dont l'intégrale a été donnée n* 280;
mais on n'obtiendrait pas ainsi une expression plus simple que la formule du n° 278.
DiffèrmKclleê binfoneg.
284. Cette expression désigne les différentielles de la forme
a et 6 désignant des constantes, m et n des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, p et q des nombres entiers. Nous remarquerons en premier lieu que la généralité de cette fonction n'est pas diminuée lorsque m et n sont supposés entiers, et même lorsque n est supposé positif» En effet, on passera du cas général à celui-oi par des transformations très-faciles. Gela posé, nous devons chercher en premier lieu les cas où la différentielle précédente peut être rendue rationnelle. 1° Si Ton pose
a + te'ssft, d'où
Ifr différentielle proposée se changera en
Elle deviendra donc rationnelle si — est un nombre totta
2° Si Ton pose
d'où
x=(^=±y et *, = l(^n .djji,, la différentielle proposée M Changera en
•-Sfcéï)" ' ■**
Elle deviendra donc rationnelle si — 1- e«t un nombre
* 1 entier
Ces deux cas sont les seuls pour lesquels on suit assuré de rendre la différentielle binôme rationnelle.
285. Nous pourrons, d'après ce qui précède, intégrer toute différentielle de la forme
<fy=F[s*\ («+&#«% (a+te»)P, (a+6xw)M, etc/Ja?*-1 . <ir,
m> *#Pj f * r> *> *> ** etcv désignant des nombres entiers , et F une fonction rationnelle des quantités contenues dans la parenthèse. En effet, la fonction proposée deviendra rationnelle si l'on pose
On intégrera également toute différentielle de la forme
cette différentielle devenant rationnelle lorsqu'on pose
