Lorsque la différentielle binôme

dy = dx . af-Ha + b*f

(p désignant un nombre fractionnaire) ne peut pas être rendue rationnelle, on cherche à la réduire à une forme plus simple en diminuant les exposants m ou p. Ces réductions s'opèrent au moyen de V intégration par parties, dont le principe a été indiqué n° 260.

1° m étant supposé positif, on diminuera cet exposant comme il suit. On a

y = / a?»-* (a + fer*)*, a*-1 dx

Mais

= a J dx • af***-\a + baff+by :

donc

ou enfin

a^q + fcc»)»*1--- (m— n)a J dx.xm-~-%(a+1>x*ï y (m+np)b

On a fait dépendre l'intégrale demandée d'une autre intégrale de même forme, dans laquelle l'exposant m— 1 est diminué

du nombre n. En continuant à appliquer la même formule on diminuera cet exposant du plus grand multiple de n qui y soit contenu.

2° ; étant supposé positif, on diminuera également cet exposant de la manière suivante :

tf = fdx.ar^(a + ba?f+(a + à&)

Hais la formule du numéro précédent donnera, en changeant «enm+ii, etp enp— 1,

[dz.*+>~\a+baf>ri =^a+^V^te.ar&+bx*ri;

et en substituant cette valeur dans l'équation précédente il viendra

ag»(fl+6:g»)> + npajdx.*m-i(a + bx*p-i y"~ m + np *

Au moyen de cette formule, l'exposant p peut, dans la différentielle proposée, être diminué du plus grand nombre entier qui y soit contenu.

3* Si Pexposant m était négatif, on emploierait la formule suivante. On a, d'après ce qui précède,

fiLr^^Ha{ b^^^af^a+bx^r'l^ni+np}bSdx.x^\a^bx-y, ! v r (m—ri)a *

pois en mettant —m+n au lieu de m, on a

fcg^fr+fa^ ^a+bx*^Mrn-n-np)bfdx.x^-Ka+àxn)r " ma

1" UKHt. 20

4° Si l'exposant p était négatif» on remarquerait que) d'après ce qui précède, I

puis en mettant — p + 4 au lieu de p, il vient

Les formules précédentes ne pourraient pas être employées si Ton avait m + np=0, ou m — n=0. Mais dans ces deux #s la différentielle binôme peut être rendue rationnelle, conformément à ce' qu'on a vu dans le n° 2B4. Remarquons, d'ailleurs, que dans les cas mêmes où cette différentielle est rationnelle, ou peut être rendue rationnelle , l'usage des formules de réduction dont il s'agit est généralement le moyen le plus Simple d'obtenir l'intégrale demandée. On a vu un exemple de cette manière dans le n° 273.