Prenons encore pour exemple la différentielle
yax—x*
Nous emploierons la première formule du numéro précédent dans laquelle on fera m=r+i, n=l, p=— \> b= — 1 , et l'on trouvera ainsi
af-^ax—x* (2r— ljq Ç afidx r •'+ *r J sfik-Z^'
En continuant à appliquer la même formule, on parviendra
évidemment à la différentielle
sjax — *■
qui rentre dans les cas traités dans les numéros 279 et suivants, et dont l'intégrale, qui s'obtient immédiatement d'après ce qu'on a vu n# 283, est
2x — a C + arcsiiL .
XXVI. nrrfauTimt dis fohcttoks piyrfimrrmiiBs logarithmiques,
VUORENTtBLLBS ET CIRCULAIRES.
288. Les intégrales des fonctions différentielles de cette nature ne s'obtiennent sous forme finie que dans quelques cas particuliers.
On voit en premier lieu, conformément à l'une des remarques qui ont été faites dans le n* 262, que s) l'intégrale de la fonction différentielle dx.f(x) est* connue, on connaîtra également les intégrales des fonctions différentielles
dx
—./(te), dx.es.f[e9)9 dx.cos.x.f(tâiLx), dx.s\n.xf(cos.x),
j^./(arctw!g.a;), ^^./(arc.sîiLa?),--|=./(arc. cos.*).
On reconnaît également que le signe f désignant une fonction algébrique des quantités affectées par ce signe, on pourra rendre algébriques les fonctions différentielles
dw.f(e*), cte./(sin.a, C06.z)t
en posant e*=t pour la première, et &in.x=t ou cos.x=J pour la seconde. Par conséquent, ces fonctions pourront être intégrées lorsque la fonction f sera rationnelle, ou pourra être rendue rationnelle.
n en sera de même si Ton a sous le signe de fonction f les quantités sin. 2a;, sin. &r, sin.te, etc., ou cos.ir, cos. &r , cos.At, etc., parce que les sinus ou cosinus des arcs multiples peuvent être exprimés rationnellement au moyen des puissances du sinus ou du cosinus de Tare simple par des formules qui se déduisent immédiatement du théorème de Moivre. (V. nM 117 et suivants.)
289. On voit aussi que les fonctions différentielles transcendantes peuvent quelquefois être intégrées lorsqu'elles sont de la forme
dx.Pzn,
P désignant une fonction algébrique , z une fonction transcendante dont le coefficient différentiel du premier ordre est algébrique; et n un nombre entier positif. Tel serait le cas où Ton aurait z = l.f(x), * = arc tàng. /*(£) , en désignant par f(x) une fonction algébrique de z.
En effet, en intégrant par parties la différentielle proposée, il viendra, en posant Q = /Ar.P,
fdx.Vz»=Qz»—n f^-^fcl
fdx.Qz*-1 ~ = &**-*—(»!--. 1) r^*^*"1^;
puis en posant S = Jcte.R-j--,
fdx.fU-*^=S2?~t— (n — 2) fdx.$z»-*£L;
et ainsi de suite. Cette opération fournira, quelque soit n, des réductions d'intégrales» et dans le cas de n entier positif elle donnera l'intégrale demandée si Ton peut trouver l'expression finie des quantités désignées par Q, R,S, etc.
390. Un exemple simple de l'opération dont il s'agit , est l'intégration de la différentielle
dy = dx{lx)n, qui donne, n étant un nombre entier positif,
y-C+ s(ter [l-s + -^ =fc ^ J.
Soit encore
dy=idx.af^i(lx)n9 il Tiendra
y = C + *(txAi- n n(n-l) ±*(n-l) 3.2.1-j
294. L'intégration par parties donne de la même manière l'intégrale de la différentielle
dy=dx.(t*€**.
On a en effet
/aPe** n dx.X*em* = fdxjf*-1^;
et en appliquant la même transformation à l'intégrale du second membre, il viendra
J a L ax a*x* o*jc" J
On trouvera par le même procédé
fête, x* C08.ax = C + ^ J sin. axTi— ^S^ + ete-l
ïdx.xniàn.ax=zC— — |cos.orri— ^§^- + etc.]
