L'intégration par parties donnant

fdx.e**C0B.bx=:?-^^ + - Jda?.e"sin.te

on tire de ces deux équations

/ rfx . e"*cos.cu* = C H fl> ., e"

/* . « . «sin.6x — 6cos.&r^ da?.eaxsin.to=C + a» + 6» ^'

La connaissance de ces deux intégrales mettrait à même d'intégrer à leur tour les différentielles dx.xne**co$.bx et Ar.xV'sin. bx, par le procédé dont on a fait usage dans le numéro précédent

293. Lorsque les différentielles contenant des fonctions transcendantes ne peuvent être Intégrées sous forme finie, on cherche au moins à les faire dépendre de fonctions plus simples. Parmi les formules de réduction employées à cet effet, noua distinguerons celles qui conviennent à la différentielle

' dy = dx.dn.mx.cos.nxs

m et n représentant des nombre» quelconques positifs ou négatifs.

On peut remarquer d'abord que cette différentielle 6e ramène facilement aux différentielles binômes, dont on s'est occupé dans les numéros 284 et suivants. En effet on a

dy = dx. sin.*a;(l — sin.* xj* dt

pois çn posant sin.#x=f, d'où dx =

sfï^V'

dy=dt.t*(i — i1)1.

fonction qui deviendrait rationnelle si n était impair. On pourrait donc employer les formules de réduction du n* 286, Mais il convient mieux d'opérer directement sur la différentielle proposée.

1* S l'exposant m est positif, on diminuera cet exposant

sans augmenter n, en observant que

y = /sin.1""-1 x . cos.* x . sin. xdx.

Donc

y= —ri + „ , t /<fcr.sîn.w-*x.cos.,l+,xf

H -f- X ïl"T-X

sin.**1 x, cos. "+1 a? m — lr y= S+I + "n+ï I/|to-"ta-*^*-CML»*-flf

équation d'où Ton tire

dx. siiL«*.C06.*aî= — — h — — jdxJbL^+xAHto*

T Si l'exposant n est positif, on diminuera cet exposant sans augmenter m, en employant la formule suivante, que Ton obtient d'une manière semblable,

rf».sin.*a;.C06.*aî= +—r- f dx.tiXLmx*oaL**x

fft-j-H ffl-t"ft

3° Si l'exposant m était négatif, on remarquerait que fou tire de la première équation qui vient d'être obtenue

reto.8tn.^x.coa.-x=8i,L',",x'cf"+'x+^ /*.*■.-,.««; ^Z m — î m — i

et en changeant m en — m + 2,

/. cos.»a? cos. «"Ha? , m— n— 2 /*. cos.»*

"■ta.-*- (m— l)sin.— 's* m-i J ** sin.-**'

4° Enfin, si l'exposant n était négatif, on remarquerait

également que la seconde des équations qui viennent d'être obtenues donne

f<te.sin.^.coa^x=-8ln^lg-c^^+^j<to.8»D.«x.cos.»x{ j n — 1 n — i

et en changeant n en — n + 2,

cos."a?~""(n— ijcos."-^ + n— i J cos.*-V

294. Parmi les cas particuliers compris dans les formules précédentes , oïl peut distinguer les suivants :

dû.x,coB,1*'ix n — 1 . .

da?.cos.*x = - 1 — — Jcte. cos.*-1*

sin."^1*

/dx cos.x m— 2 Ç

sin.mx~~ (m— ijsin."*-^ m— ij i

/dx sln.g n— 2 Ç dx

cos."x*~ (n— ijcos.*^1 x n—lj co8.~-tx

rrfx^ï= rcte.tang.-a:==^55^~/(to.taiig.^aî