XX VII. INTEGRATION PAR SERIES

297. Une fonction quelconque pouvant en général être développée en une série ordonnée suivant les puissances entières de la variable, oq peut obtenir sous la même forme l'expression de l'intégrale d'une différentielle quelconque. Ainsi, comme Ton a en général , d'après le n° 81 ,

on wa également

C désignant la constante arbitraire qui doit être ajoutée pour donner à l'intégrale la généralité nécessaire. Cette expression en série de l'intégrale Jdx.f(x) peut être employée toutes les fois que la série est convergente. Nous remarquerons de plus que si la série qui donne le

développement de f[x) est convergente pour toutes les valeurs

de la variable comprises entre 0 et une certaine limite x, la

série qui donne le développement de fdx.f(x) le sera à plus

forte raison. En effet, la série /*(()) + f'(0). a: + etc. ne peut

converger vers f(x) qu'autant que le terme complémentaire

ffîte) £-t-j — - — xV-^royez n° 86) devient plus petit que toute

grandeur donnée, pour les valeurs de la variable dans l'intervalle indiqué , lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre p.. Or c'est l'intégrale , prise à partir de x=0 , de cette quantité multipliée par dx9 qui fournit le terme complémentaire du développement de Jdx.f[x). Celui-ci est donc la somme des valeurs que prend le produit

lorsque x passe de 0 à sa valeur extrême par une suite d'accroissements infiniment petits et égaux dx; il est ainsi égal au produit de l'intervalle total que x parcourt par la valeur

fPftx) moyenne de r-^rr — - — **S et il tend vers zéro comme cette ' 2.3.4 \l

valeur elle-même lorsque p augmente à l'infini.

298. Lorsque la fonction f(x) se trouve dans les cas d'exception qui ont été remarqués numéros 88 et suivants > c'est-à-dire lorsque le développement de cette fonction contient des puissances fractionnaires ou négatives de x, on peut également employer ce développement pour obtenir l'expression de l'intégrale fdx.f[x) en série, expression qui pourra servir au calcul numérique de cette intégrale si la série est convergente.

299. L'intégration par série est quelquefois le procédé le plus simple que l'on puisse employer pour obtenir le

développement d'une fonction suivant les puissances entières ascendantes ou descendantes de la variable. On a, par exemple,

dJ(t+x)==j-^=:dx(i—x+x*--x*+x>-- etc.):

donc

La constante arbitraire C doit être déterminée de manière que l'égalité des deux membres subsiste pour une valeur quelconque de x. Or, en faisant <r = 0, le premier membre se réduit à zéro , et la série du second membre disparaît. Donc C = 0; d'où Ton conclut

«mS /*«8 fk «**S

tomme on Ta vu n° 102.