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ros 255 et suivants. Soit en général

f{x).dx

une fonction différentielle quelconque de la variable x, et désignons par

l'intégrale de cette fonction différentielle, ou la fonction qui étant différentiée, aura f[x) .dx pour différentielle. Cela revient à poser

d.Y(x)=zf(x).dx, ou plus généralement

d[c+n*)]=m-dxf

C désignant une quantité constante entièrement arbitraire. Et la fonction F[x) pourra être déduite de la fonction différentielle f(x).dx, quand celle-ci sera donnée, au moyen des méthodes qui ont été exposées dans les articles précédents. Cela posé, d'après ce qu'on a vu dans les numéros 255 et suivants, une fonction quelconque peut toujours être regardée comme étant la somme d'un nombre infini de valeurs de sa différentielle. Ainsi, l'expression

représente en général la somme d'un nombre infini de valeurs de la différentielle f(x) . dx. Tant que la constante C demeure indéterminée, la valeur de x h partir de laquelle on a commencé à sommer les différentielles est également indéterminée; et quant à la valeur de x à laquelle la somme

se termine, c'est la valeur même de cette variable qui se trouve sous le signe de la fonction F.

Remarquons maintenant qu'un grand nombre de questions importantes exigent la recherche de la somme d'un nombre infini de valeurs d'une différentielle proposée, cette somme étant prise depuis une certaine valeur x0 de x, à partir de laquelle les différentielles successives sont supposées s'ajouter les unes aux autres , jusqu'à une autre valeur xw de cette même variable, au delà de laquelle on cesse d'ajouter les différentielles. Cette somme s'exprime analytiquement d'une manière générale comme il suit,

fa

l"dx.f{x),

en plaçant au-dessous du signe / la valeur de la variable à partir de laquelle les différentielles commencent à être ajoutées, et au-dessus de ce signe la valeur de la variable à laquelle cesse cette addition. L'expression dont il s'agit est ce qu'on nomme une intégrale définie , en entendant par là que Fintégrale, ou la somme des différentielles, est prise entre des limites déterminées; x0 est la limite inférieure, et x* la limite supérieure de l'intégrale. Les intégrales définies constituent d'ailleurs, comme on le verra dans la suite, un nouveau genre de fonctions dont l'usage est fort étendu dans l'analyse.

Par opposition aux intégrales définies, les géomètres donnent souvent le nom d'intégrale indéfinie à l'expression

dont la recherche a été l'objet des articles précédents , qui satisfait simplement de la manière la plus générale à la 1" AifirtE. 21

condition d'avoir f[x) . dx pour différentielle, et qui représente la somme des valeurs de cette différentielle prise depuis une valeur indéterminée de x jusqu'à la valeur quelconque que Ton voudra attribuer à cette variable dans le terme F(x). Or, la connaissance de l'intégrale indéfinie d'une différentielle proposée donne en général immédiatement celle d'une intégrale définie relative à cette même différentielle prise entre des limites quelconques. En effet, si l'on fait x = Xç dans l'expression C-fF(ar), on aura

pour exprimer la somme des valeurs de la différentielle f[x).dx prises depuis une certaine valeur indéterminée de x jusqu'à la valeur x0; et si Ton fait a? = xw dans U

même expression, sans changer la constante C, on aura

pour exprimer la somme des valeurs de cette différentielle prise depuis la même valeur indéterminée de x jusqu'à la valeur œoi. Donc, la différence de ces deux expressions. c'est-à-dire

FteJ-F(*o)

représente la somme des valeurs de la. différentielle dont il s'agit, prise depuis la valeur x0 de x jusqu'à la valeur 2U. On voit par ce qui précède que l'équation

d.F(xj=zf(x).dx

entraîne généralement la suivante

dx.f(x) = F(xJ~ Ffo)î

c'est-à-dire que l'on a la valeur d'une intégrale définie en retranchant Tune de l'autre les deux valeurs que prend l'intégrale indéfinie lorqu'on y donne à la variable les valeurs correspondantes aux limites inférieure et supérieure entre lesquelles l'intégrale définie doit être prise.

30i. Il résulte de ce qui précède que l'on obtient toujours facilement la valeur numérique d'une intégrale définie

dx.f(x), lorsqu'on peut obtenir sous forme finie, ou

en série convergente, la fonction F(x), dont la différentielle est dx. f\x). Cela n'est pas toujours possible, et quand on ne peut y parvenir, on est obligé de calcules la valeur numérique dont il s'agit par des méthodes d'approximation qui seront exposées dans la suite. Dans les cas même où la fonction F(x) peut être obtenue sous forme finie, l'usage des méthodes d'approximation est souvent préférable à la recherche directe de cette fonction.

305. Les notions précédentes deviendront très-sensibles si Ton considère, comme on l'a déjà fait dans le n° 256 , la variable x comme l'abscisse, et la fonction F(x), ou plus généralement C-\-T(x), comme l'ordonnée d'une courbe. Une différentielle quelconque

d[G + F(x)]=f(x).dx

de cette fonction représente l'accroissement infiniment petit de l'ordonnée lorsqu'on passe de l'abscisse x à l'abscisse *-f<te. La somme de ces accroissements de l'ordonnée qui ont lieu depuis une certaine valeur x0éex jusqu'à une autre râleur xWJ est évidemment égale à l'excès de l'ordonnée répondant à la dernière limite sur l'ordonnée répondant à la première limite, c'est-à-dire à yco — jf0 ou F(xJ— F(ar«).