Remarquons, d'ailleurs, que l'équation précédente

dans laquelle F{x) est telle que Ton a d.F(x) — dx.f[x)ynt s'applique pas aux cas où les fonctions f(x) ou F(x) deviendraient infinies pour une valeur de x comprise entre les limites x0 et arw de l'intégrale définie. En effet, lorsqu'on a exposé dans le n° 255 des considérations d'où il résulterait qu'une intégrale quelconque représente toujours la somme d'un nombre infini de valeurs de la différentielle, on a dû exclure les cas où les fonctions dont il s'agit prendraient des valeurs infinies.

Lorsqu'on demande la valeur d'une intégrale définie

" dx . f(x), et qu?il arrive que la fonction f(x) devient m-

finie pour une certaine valeur aàe x comprise entre les limites x0 et xtù de l'intégrale, on ne peut en général obtenir la valeur cherchée qu'en partageant l'intégrale en deux parties, dont la première finit et dont la seconde commence à la valeur x=a, c'est-à-dire en considérant séparément les deux intégrales définies

flodx.f(x) et fx»dx.f{x),

dont la somme donnera la valeur demandée. Cette somme aura une valeur infinie si les deux parties ont elles-mêmes des valeurs infinies et de même signe, ou si l'une seulement des deux parties est infinie. Elle aura une valeur indéterminée si les deux parties ont des valeurs infinies de signes contraires. Enfin elle aurait une valeur finie déterminée si les deux pa> ties avaient des valeurs finies.

De même, s'il se trouvait entre les limites x0 et xw deux valeurs aetaiy pour lesquelles f[x) devint infinie, on devrait partager de cette manière l'intégrale définie proposée,

jl^dx.m + J*£ dx.f(x)+fxa»dx.f(x)9

et déterminer h part la valeur de chaque terme. Et ainsi de suite si le nombre des valeurs intermédiaires qui rendent f(x) infinie était plus considérable.

307. Il résulte de ce qui précède qu'il revient au même de changer le signe dont une intégrale définie est affectée, ou de renverser Tordre des limites. Ainsi

On peut d'ailleurs changer la variable x qui est sous le signe d'intégration définie, pourvu que l'on change en même temps les limites de manière à leur conserver les mêmes valeurs absolues. Si, par exemple, dans l'expression précédente , on veut remplacer x par une nouvelle variable/, en établissant entre ces deux quantités la relation quelconque x=y{t), on devra remplacer dx par d.<p(l) ou i'(t)d$ , et x0 , arw par les valeurs de I qui seraient déduites respectivement des équations

308. Nous remarquons enfin que la considération des intégrales définies peut servir à trouver le développement connu sous le nom de théorème de Taylor, et conduit à une expression remarquable de la partie que Ton néglige en s'arrétant à un nombre déterminé de termes. D'après ce qui a été dit dans le n* 303 on aura, quelle que soit la fonction (, pourvu que

cette fonction soit continue entre les valeurs] # et x+ k de la variable ,

f(x + h)-f(x)=fX+hdx.fïx) ,

f'(x) désignant le coefficient différentiel ou la fonction dérivée du premier ordre de la fonction f{x). Or, on peut remplacer, dans l'intégrale définie du second membre, x par x -f h — /, en désignant par t une nouvelle variable, ce qui changera cette intégrale, en ayant égard à ce qui a été dit dans le numéro précédent, en

-ph<u.nx + h-t)y ou fj tf.rt*+n-fl;

en sorte qu'on peut écrire

f(w+k)~f(x)±f* di.fix+h-t).

Cela posé, considérons l'intégrale indéfinie

en lui appliquant le procédé de l'intégration par parties, oc trouvera successivement

fdt.fïx+h-t)=t.f(x+h--t)+fdt.i,f%x+h--t)9

fdt . tff'(X+h-t)= y . f»{X+h-t)+Çdt .jT(* +*-*)»

etc.

et par conséquent

J dt.nx+h-t)=t.r(x+h-t)+ *f»(x+h-t)+^r(x+h-t)+

Donc, en prenant l'intégrale entre les limites zéro et h,

f*dt.r(*+h-t)=kr(x)+£r(*)+£ân*)+£irw+

et en substituant cette valeur dans l'équation précédente , il viendra

Si l'on lait dans cette équation x=0, puis que l'on écrive x à la place de h, elle prendra la forme

nx)=fw+xno)+^f"m+^no)+~rw+

D est aisé de reconnaître d'ailleurs que cette nouvelle expression du terme complémentaire de la série de Taylor comprend celle qui a été présentée dans les nM 85 et 86. Mais tandis que celle-ci est indéterminée , et fait seulement connaître les limites entre lesquelles la valeur du terme dont il

s'agit est contenue, l'expression sous forme d'intégrale définie détermine complètement cette valeur.

XXIX. USAGE DBS INTEGRALES DEFINIES POUR L'ÉVALUATION DBS LONGUEURS DBS COURBES, DBS AIRES ET DBS VOLUMES.

l° Aires êtes courtes planes.

309. Considérons une courbe quelconque rapportée à deux axes rectangulaires. Proposons-nous de trouver Taire de cette courbe, c'est-à-dire la valeur numérique de la surface comprise entre l'axe, la courbe et deux ordonnées quelconques. Désignons par

l'équation de la courbe, et par x09 x^ les abscisses qui répondent aux ordonnées par lesquelles l'aire qu'il s'agit d'évaluer est limitée. On a trouvé dans le n° 456 qu'en désignant par u la fonction de x qui représentait la valeur de l'aire comptée d'une origine quelconque jusqu'à l'ordonnée correspondante à l'abscisse a?, la différentielle de cette fonction était exprimée par

du = ydx.

Or l'aire qu'il s'agit d'évaluer est évidemment la somme des valeurs en nombre infini que prend la différentielle du lorsqu'on donne à x dans cette différentielle toutes ses valeurs comprises entre x0 et xtù. Donc , conformément à ce qu'on a vu dans l'article précédent , cette aire est exprimée par l'intégrale définie

11 est entendu que dans cette expression les limites x0 et xw sont deux nombres donnés correspondants aux positions des ordonnées qui terminent Taire. Le résultat de l'opération indiquée par l'expression analytique dont il s'agit est également un nombre déterminé , représentant la valeur de cette aire.

Mais on peut aussi imaginer que la première limite x0 est seule donnée et fixe , et que la seconde limite a?w est indéterminée et arbitraire. Alors on représentera simplement cette seconde limite par x. Le résultat de l'intégration définie sera alors une fonction de x représentant Faire qui commence à ^ordonnée correspondante à l'abscisse x0, et qui se termine à une autre ordonnée quelconque correspondante à l'abscisse x. En désignant cette aire par u, nous écrirons donc

dx.y.

310. Si la courbe proposée est rapportée à des coordonnées polaires, son équation sera donnée sous la forme

u désignant l'angle compris entre le rayon vecteur dont la . longueur est r et une ligne fixe. L'aire u est ici l'espace triangulaire compris entre la courbe et deux rayons vecteurs formant avec Taxe fixe, l'un l'angle <o0> l'autre l'angle quel* conque u. Gomme on a trouvé dans le n° 499

du = - r*dw f on aura donc ici

n=R / rfw.r1.

314 . Soit, par exemple, l'ellipse rapportée à ses diamètres rectangulaires, dont l'équation est

$ + £=*. ou y = b- </*=*,

a et 6 désignant les demi-diamètres oA et oB (fig. 45). L'aire oBmp sera exprimée d'après le n° 309 par

u=ïfo "***-*'

x désignant l'abscisse op. Pour obtenir la valeur de eette intégrale définie, il faut considérer l'intégrale indéfinie fixsja* — x*. On pourrait la rendre rationnelle en employant la tranformation indiquée n° 276. Il serait plus simple de la

dx ■ — f et de considérer à part

ja*— x*

les deux parties / f — f ; T dont la p«-

J )/al—x* J <Ja*—x*

mière s'intègre immédiatement d'après le n° 284 , et dont la seconde s'intégrerait en la considérant comme une différentielle binôme , et opérant d'une manière semblable à ce qu'on a fait n° 287. Mais il sera plus simple encore de poser

yte*— a^=to, d'où x* = - a%

t désignant une nouvelle variable; ce qui donne par conséquent

jdx v^F^â* = C + 1 tx*— ^ arc tang./ ,

puis en prenant l'intégrale depuis #=0 jusqu'à a; ?= a?,

= 5 a? fâ^xT+ « a*, arc tang. -7=^=- •* ^ ya*—x*

= jiX Ja*— âc' + s^.arcsin.-.

L'expression de Taire demandée est donc

= f + T«rcdn.«-.

Gomme -^ est Taire du triangle omp, on voit que Taire

du secteur oBm est -— arc sin. - . En faisant x=a, on aura

7ta6

— pour Taire oBA, et par conséquent itofr pour Taire entière

de FeOipse.

312. Soit l'hyperbole rapportée à ses axes dont l'équation est

£-£=*, ou wiftt

En désignant par u Taire Apm (fig. 46), op représentant l'abscisse*, on aura

Pour obtenir l'intégrale indéfinie fix s]x* — a», on fera comme ci-dessus ,

V**— a* = ix% d'où ** =

Mais donc

et en 'prenant l'intégrale depuis x=a jusqu'à x=x, il vient

L'expression de Paire Amp dont il s'agit est donc

__xy ab (x y\

Comme -~ représente Taire du triangle omp, on voit que

aire devient infinie lorsque le point m s'éloignant à l'infini le rayon om se confond avec l'asymptote.

313. L'équation de l'hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes étant

*y = T ou y=^,

Taire représentée par u, comprise entre les ordonnées correspondantes aux abscisses x0, x, est exprimée par

dar ^ a* .x

Si l'on pose a = 4 , on a simplement

ainsi les logarithmes népériens des nombres donnent immédiatement les aires de l'hyperbole équilatère. C'est par cette raison que ces logarithmes ont été nommés logarithmes Ayperboliques.

314. L'équation de la parabole, en comptant les ordonnées du sommet, est

y* = 2pr ou y = \/2px.

^ 334 - L'aire omp (fig. 47 ) est donc représentée par

u=fipf*dx<J&, qui revient à

ti=-^2p.a?*, ou « =

L'aire omp est donc les ~ du rectangle ormp, et l'aire oureo

est le = .