Si l'on considère la courbe dont l'ordonnée esl

a désignant une constante positive, et plus grande que l'unité, l'expression de Taire mpqn (fig.A&) représentée par «, et terminée aux abscisses op et oqy représentées par x, et x, sera

«= I dx.a*;

et comme on a l'intégrale indéfinie Jdx.am=T- , il viendra

ta

L'aire comptée à partir de oB du côté des x positives se»

am—\ donc —, — > et Taire comptée à partir de oB du côté des x

négatives sera — j- — . Cette dernière expression donne, en

supposant j?=-, j- pour l'aire comprise entre Taxé et la

courbe prolongée à l'infini.

316. Dans la cycloîde (fig. 49), les coordonnées op, mp d'un point quelconque de la courbe étant représentées par s, y, on a, comme on Ta vu n° 178,

;r=rR(w— sin.to), y = R1(i— co8.«o),

R désignant le rayon cr du cercle générateur, et » l'angle mer. L'aire omp sera exprimée par

u=fxydx on ti = Rf / wrfw(l — cos.«o)f. Mais on a

<fc<i— COS.û>)»= / dw(i— 2C0S.«o+ COS.fco)= / dw (y- 2C0S.w+-C0S.2co j

= ^ w— -2 sin. w+ t sin.2u.

Donc

t*=Rf(-w— 2sin.w+-sln.2cDj.

Cette formule donnera la totalité de Paire omnay comprise entre la première partie de la cycloîde et Taxe oa, en y faisant u>=2it. La valeur de cette aire est donc 3itR% c'est-àdire le triple de l'aire du cercle générateur. On peut remarquer d'ailleurs que l'aire

oqttn^oqtp—omp^lRx — u

RI

= — (w — sin.wcos.fc»):

donc l'espace oqim est égal à la partie rms du cercle générateur, et par conséquent l'espace oqtnm est égal à la moitié dn cercle générateur.

317. On pourra toujours, au moyen de l'opération qui vient d'être expliquée , évaluer une aire quelconque comprise dans un contour tracé sur un plan. Car soit Mm, Nms (fy. 50] le contour dont il s'agit, rapporté à des coordonnées rectangulaires. Désignons par x„ xw les abscisses extrêmes ©P, oQ; par x un abscisse quelconque opy et par y, et yt les ordonnées mj» et mj) correspondantes à cette abscisse, et appartenant respectivement aux deux courbes Mm,N et MnijN qui forment le contour. Ces ordonnées doivent être données en fonctions de x, et il est visible d'après ce qui précède que Taire Mii^Nm, est exprimée par l'intégrale définie

^dr(yt-yt).

Si le contour MmtNnis est discontinu, et composé de parties distinctes, dont les ordonnées ne soient pas exprimées par une même fonction de l'abscisse x, on pourra partager Taire proposée , et l'intégrale définie qui en exprime la valeur, en plusieurs parties correspondantes respectivement aux portions du contour dont les ordonnées ont une expression commune. La valeur de chacune de ces parties se calculera séparément. Dans les cas mêmes où les ordonnées du contour ne sont pas données par une ou plusieurs expressions analytiques formées de l'abscisse x, mais où Ton connaît seulement les valeurs numériques des ordonnées de certains points de ce contour, il existe, comme on le verra dans la suite, des méthodes au moyen desquelles on peut évaluer approximativement Tintégrale définie par laquelle l'aire est représentée.

348. Pour présenter une application de la formule du n* 310, nous considérerons la spirale logarithmique dont l'équation donnée n° 904 est

L'aire triangulaire comprise entre la courbe et les deux rayons vecteurs r et r9 qui forment entre eux l'angle w— causera donc

c'est-à-dire

e*i**tù e*u.b>0

h.ta

ii =

U.la '

Dans les cas particuliers où la = i , et r=e", Taire dont il

s'agit est donc le - de la différence des carrés construits sur

les deux rayons vecteurs.

été etortet plaaet.

319. En appliquant ici les considérations qui ont été présentées dans le n° 309 , et se rappelant que Ton a trouvé dans le n* 457 que la différentielle de Tare d'une courbe rapportée aux coordonnnées rectangulaires x9 y, et représentée par l'équation

était exprimée par

«=<*\fiW<

V9 UffttE.

on aura évidemment l'intégrale définie

pour l'expression générale de la longueur de Tare de la courbe compris entre les points correspondants aux abscisses x0 et œ.

320. De même, si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, et représentée par l'équation

r=f(*>); comme on a trouvé dans le n° 200,

* = **)/ f+fèf pour l'expression de la différentielle de l'arc, on aura

pour l'expression générale de la longueur de Tare de la

courbe compris entre les points correspondants aui laleurs ci>0 et ci> de l'angle qui détermine la direction du rayon vecteur.