Si Ton considère, par exemple , comme dans le

n° 312, l'ellipse rapportée à ses diamètres rectangulaires, dont l'équation

x% V* m j à n ; du b x

55+^=1 donne y=-0?=ï\ ;£=-,

il viendra

pour l'expression de Tare compté du sommet de la courbe jusqu'au point dont l'abscisse est x. En introduisant l'exceptriefté désignée par e dans le n° 197, ou faisant a1— 6f=aV, cette expression s'écrira

On ne peut pas Y obtenir .sous forme finie, mais on peut la

développer en série convergente de diverses manières. Re-

marquant, par exemple, que - est toujours une fraction,

on peut poser x = a cos. <p, d'où dx = — a sin. <p<*j>, et

s = —al dy^i—etcOB.*?;

ou en développant (1 — e'cos.*?)*;

Or, on a, par la seconde des formules écrites n° 294,

rf©.cos.19= ^sin.9.cos.9 + ^ 9+C,

4p.coa.*9= ^ sin.9.cofl.«9 + ^ sin.f.cos.f -t- s^?+C #

— Lsin.?,cos.^-f

et en prenant les intégrales depuis <p = £

/ * tfy.tm1? = gsin,s,cos. Y+^sin.?,co&,?+^

ce qui donne les valeurs de chaque terme cédente.

Si Ton suppose x=a3 et par conséquent 1 ?=0, l'expression précédente de s donnera gueur du quart du contour de l'ellipse :

TK<)-Kn')-KËH-KmH'-«°-