L'équation de la parabole
y1 = 2px donne y = v^jw. j| = y |j-
Ainsi, l'arc compris entre le sommet de la courbe et le point dont x est l'abscisse a pour expression,
L'intégrale indéfinie JdxKf 1 + ^ se trouvera en posant
et
Comme l'intégrale ffZ-^f* (^ - ^
il vient
v to * v^ï+'
Mais, par la quatrième des formules données n* 393,
J sin.t.'cos.*! Cos.! J sin.1* et par Tune des formules du n° 295, on. trouve
Donc
ai/j i .^-l
il est sans doute superflu de remarquer que x=arctang. (la,y) est ici l'angle formé avec Taxe des # par la tangente menée à la courbe au point dont l'abscisse est x. '
325. Soit encore, comme au n° 346, la cycloïde dont l'équation a été donnée n° 179 (fig. 49). On aura
dy <Jl*y—y% QU dx y dx y * dy ^Ry— y»'
Or la différentielle ^\/* + (j-) de l,ftrc d'une courbe
pouvant également s'exprimer par rfyl/l + (-7-) , nous pouvons représenter ici par
Cotte formule donnera la longueur do la moitié en y faisant y — 2R. Cette moitié est donc cmiiine on l'a déjà remarqué n* 191. Si d'ailleu compter l'ordonnée tj de haut en bas, à partir d< et Tare * à partir du point n dans le sens nm écrire $B — y à la place de y et 4R — i qui donnerait
320, Nous considérerons enfin la sptra dont l'équation , rapportée aux coordonna
Il viendra, d'après ce qui a été dît nc 33 i i bt-à-dirc
pour la longueur de l'arc compris entre les points de la courbe auxquels appartiennent les rayons vecteurs r0 et r. Gomme l'angle compris entre la normale et la courbe a pour tangente trigonoinétrique, d'après le n° 2(M, — la, l'angle compris entre la tangente et la courbe a pour tangente trigonométrique -p-, et pour cosinus ■. Il
la ^4 + (W
est évident en effet, par la nature de la courbe dont il s'agit, que la différence de deux rayons vecteurs est à la longueur de Tare qu'ils comprennent dans un rapport constant exprimé par ce cosinus.
Lorsque l'équation de la spirale logarithmique est simplement r=eco, on a s= fë(r — r%). La longueur de Tare compris entre deux points quelconques de la courbe est la différence des diagonales des carrés construits sur les rayons vecteurs appartenant à ces points.
tes courte* à éoufcte courbure.
327. .Une courbe à double courbure étant donnée par les équations
v=fl*), *=F(*),
on a trouvé dans le n° 227, pour l'expression générale de la différentielle de cette courbe,
