En posant

y XX. sin.x

nous aurons

Ay sin.(x+Ax) — sin.x, sin.'Ax / 1

-z~ — — cos. ( X + - A X ) r

ax ax ;ax \ 1 j

lorsque ax approche indéfiniment de zéro , le rapport

de sin. j A x à l’arc j ax tend vers l’unité, qui est sa li-

mite : la limite de est donc

ax '

, -j- = cos. X ;

— ai —

tfoù i’on conclut que' '

d. sin jr = cos. x .dx.

De même en posant

y = cos. X ,

on a

cos.(o:+ij:)— i^cos.j: sin

ûx ûx

dont limite est

sin. (’x 4* - A j: I,

;ax V 2 /

— — sin.x; d’où d.cos.x= — siii.x.rfx.

Ainsi la fonction dérivée de sin. x est cos. x ; et réciproquement , la fonction dérivée de cos. x est sin. x , mais pris avec le signe — .

D’ailleurs, la différentielle de sin. x étant connue, on en déduit immédiatement celle de cos. x. C’est ce qu’on verra au n» 33.

III. DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS COMPOSÉES OU FONCTIONS DE FONCTIONS d’uKE SEULE VARIABLE.

2k. Les fonctions dont on vient de s’occuper doivent être regardées comme les éléments simples dans lesquels se résolvent toutes les expressions de l’analyse (du moins tant que l’on ne considère pas la partie de cette science , qui est du ressort du calcul intégral ). £<u effet , toute formule est composée des fonctions dont il s’agit , combinées entre elles , soit par le moyen ides signes qui indiquent les opérations ordinaires de l’algèbre , soit par l’usage des car|ictéristiques log., sin., cos., que l’on peut regarder comme indiquant d’autres opérations plus com-

pliquées , et dont rexécution.a été facilitée par la con-> st^uction des tables. La recherche directe de l’expression de la diflérentielle des trois fonctions x”, log. x et sin. X , a dû nous occuper d’abord : on peut y ramener la détermination des deux quantités a”, d. cos. x que nous avons obtenues tout-à l’heurc^ar des procédés particuliers. A l’égard des autres fonctions plus composées , il existe des règles faciles , par le moyen desquelles on réduit la recherche de leur différentielle à la recherche de la différentielle d’une fonction plus simple contenue dans la première. En appliquant ces règles , on parvient progressivement aux derniers éléments dans lesquels la fonction proposée peut se résoudre , et qui se trouvent toujours (en exceptant certaines expressions dont on s’occupera en traitant du calcul intégral ) l’une des fonctions simples qui ont été le sujet de l’article précédent. Sachant donc différentier ces fonctions , on sait également différentier toutes les autres.

Pour faire connaître lés règles dont on vient de parler, soit en premier lieu

ûr—f{y),

V désignant une fonction quelconque de x. 11 s’agit d’avoir la diflérentielle de la variablejj', qui est ici ce que l’oii nomme \me fonction de yoncïion de la variaHe indépendante X ; c’est à^ire la variation infiniment petite que subit y lorsque x augmente de la quantité infiniment petite dx. En revenant toujours au principe énoncé n*12, et désignant parAp<raccroissementde la fonction correspondant à l’accroissement n.r de X , on aura

qui peut s’écarire

5 j; A J' ' Aj: • , • *

Supposant ensuite que s’approche indéfiniment de

zéro , on devra à la limite remplacer par ^ , et

dv'

par-^. Donc

dy dv dv ’ dx,’

dydv

ijidx

Ainsi le coefficient difi'érentiel demandé s’obtient f dx

ici en prenant d’abord le coefficient dilTérentie} g,

comme si v désignait une variable indépendante , puis

mtilüpliant par qui est le coefficient diflîk'entiel

de la fonction v pris par rapport à la variable indépeu^ dante x.

A cause de ^ <ir a* , l'équation ^ ^ . ffcc

revient à celle-ci dy = dv dont la forme est la même

que si V était la variable indépendante. En posant , par exemple , , et se rappelant la formule du n«

on en conclut que rm^~'dv, quelle que swt la

fonction»'. .