Soit en second lieu

U et V désignant deux variables qui sont elles-mêmes des fonctions de la variable indépendante x ; il s’agit

toujours de trouver le coefficient différientiel Remarquons (Jue la différence ày ou de la fonction proposée est identiquement égale à ■ f{u+£iuy) — /(tt,p) +/(u+Am,(H-ûv) —f .

Donc . — =

/(/i+A«,v)-/(M,v) /■(u+iu, v)

^x üx

Quanta la limite vers laquelle tend cette expression lorsque £tx tend à devenir égale à iéro , celle du premier

terme est évidemment , d’après ce qu’on a vu ci-dessus, dy du,,

-r- . La limite du second terme, si àu était con-

du dx . ,

stante , serait

d.J\u->r^u,v) dv

mais comme Sut devieni

dv dx ’

nulle en même temps que ax', cette dernière quantité . t ''.'i ,1'. d.f[u,v) dv d,y dv

ne difière point de cela

■ 7—, ou-T^ D’après dx dv dx . ‘

dy dv du dy dv , f dy du dy dv\ ,

On v(Mt*donc que le coefficient différentiel demandé s’obtient en prenant successivement les coefficients diffé-

rentiels par rapport aux deux foiicliôns u et »> , c’est-àdire en regardant successiTement u seule comme variable , et V seule comme variable, et ajoutant les résultats. 27. Si l’on avait

les trois variables t , u, v étant des fonctions de la variable indépendante x , une méthode semblable (*) conduirait à l’expression

dy dy dt dy du dy dv

dx dt dx du dx: dv dx ’

d’où ;

dy=(±± + ±±i + ±±')dx;

^ \dt dx du dx dv dx) ’

et ainsi de suite s’il y avait un plus grand nombre de fonctions dépendantes de la variable x. . . »

Usage des réglés précédentes.

28. Les seules règles qui viennent d’étre exposées , réunies aux résultats présentés dans l’article II , suffisent pour trouver la diilérentielle d’une expression analytique quelconque. Nous ajouterons ici quelques remarques propres à faciliter ce genre d’opérations.

Lorsque la fonctiou est composée d’une autre fonction combinée avec une constante par addition , soustraction ou multiplication , la notion seule de la différentielle suffit pour indiquer le résultat. Ainsi

y = a + v donne dy — dv y = a — v dy = — dv

' Y = ttv dyssadv. '*

A (*) Il faudrait obterrer alors que la diOéreacè est IdcntijnlMBeBt * égale à +

y(r.^ + .iu,r + ai>) — y(«+A<,M + Au.i'). ^ ■*

Digitizod by GoogU

■ On a .déjà vu ( d„ 24 ) que

d ) = mv"—' . dv ,

m étant une constante quelconque.

29. Lorsque la fonction est composée de plusieurs fonctions ajoutées entre elles, multipliées ou divisées les unes par les autres , le résultat se déduit de la règle des n°* 26 et 27. Désignant toujours par t, u,v des fonctions de la variable indépendante x,

= donne djr '= du+dt>

y=ut> dy ■=.vdu'^udv

y — tuv dyx uvdt + tvdu + tudi> ''

u J du udt> vdu — udv

La dernière expression s’obtient en’ observant que

Si l’on veut que la diilérenticlle dy soit exprimée au moyen de la dÜTércntielle dx de la variable indépen-

dante , .on remplacera dt, du et dv ^ ^

30. Nous considérerons maintenant les combinaisons les plus simples auxquelles donne lieu l’usage des fonctions logarithmiques, exponentielles et Irigonométriques, que les géomètres appellent communément fonctions transcendantes.

La marche à suivre pour obtenir la dillérentielle consiste toujours à mettre la fonction proposée sous des formes semblables à celles des fonctions générales qui ont été considérées dans les n" 24 et suivants , c’est-<\-

(lire à distinguer le& quuati tés -que, l’ou regardera comme fonctions les unes des autres, jusqu’à ce qu’on parvienne aux fonctions les plus simples. Soit . ■

jr±=l{lx).

Cette formule revient à

Y = h, et l’on a = tx.

Donc, d’après les n“* 20 et 24 .

dy 1 dv 1 ^

dx V ’ dx x’

d’où ‘

dy \ , dx

3l. Soit qui revient à

dx x.lx ** ^ x.lx

y = a’, en posant v = à*.

D’après les n** 23 et 24 , on aura donc

=la.a',

-j— = la . Ib . at* . b" , et dy=la.lb,al>*,b*.dx.