Le logarithme est supposé pris dans un système

quelconque ; si on le prend dans le système dont la base

est le nombre e , log. e=l, et l’on a simplement

Ce dernier système est celui des logarithmes appelés ou hyperboliques , ou népériens , du nom de Neper , inventeur des logarithmes, et qui sont généralement employés dans l’analyse. Nous les désignerons simplement par la caractéristique /, afin de les distinguer des loga> rithmes pris dans un système quelconque qui seront désignés par la caractéristique log. Ainsi l’on aura <2.1og.ar log.e d.lx 1

dx X dx X

S** Fonction exponentieHe^^a”, a désignant une constante.

21. Nous avons ici , d’après la formule du n® 12 , e^y — a* — 1

ûjr \x tsx

Soit fait Aa7=x ; nous pourrons écrire

6 étant considéré , aussi bien que « , comme une quantité qui peut approcher indéfiniment de zéro. Donc

tsx a

et il s’agit de connaître la limite vers laquelle tend le .

rapport - lorsque a et 6 tendent à devenir nnlles. Prenant des deux parts , dans im système quelconque , les logarithmes dans l’équation

on* a.**'

alog.« = log. (1+6), et par conséquent

a log.(l+6)

Or, d’après le n® 17, la limite de — — ^ est log. e.

Donc à la limite

d’où l’on conclut dy log. a dx log. e

loga

loge

et

d.a’ = . a*dx.

log. e

22. Si les logaritlimes sont hyperboliques ou népériens, log. e=l, et l’on a simplement

d .a* =^la.a*dx.

Donc lorsque la' constante a=e [voyez ci-dessus n* 16), rf.e® = e*dx.

La fonction e* se reproduit par difîérentiation, le coefficient dilïérientiel ou la fonction dérivée ne différant point de la fonction elle-même.

Au reste , on verra , n“ 3S , que la différentielle de a* peut se déduire immédiatement de celle de log. x.

40 Fonctions trigonométriques^ = sin. x et^ = coi. x.